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0
1
Abbildung 6.5: Ein Radiale-Basisfunktionen-Netz für die Biimplikation mit Euklidi-
schem Abstand und Rechteck-Aktivierungsfunktionen.
der Punkt
(
1, 1
)
innerhalb der Kreises bleibt und keiner der anderen Punkte in den
Kreis gerät. Auch kann natürlich die Abstandsfunktion oder die Aktivierungsfunk-
tion verändert werden. Man kann aber auch eine ganz andere Lösung finden, wie
sie etwa Abbildung 6.4 zeigt. Durch einen Biaswert von
1imAusgabeneuronwird
eine Grundausgabe von 1 erzeugt, die innerhalb eines Kreises mit Radius
5
um den
Punkt
(
0, 0
)
auf 0 verringert wird (man beachte das negative Gewicht der Verbin-
dung zum Ausgabeneuron). Es wird gewissermaßen aus einem Teppich der Dicke 1
eine Kreisscheibe „herausgestanzt“, und zwar so, dass alle Punkte, für die eine Aus-
gabe von 0 geliefert werden soll, innerhalb dieser Scheibe liegen.
Als weiteres Beispiel betrachten wir ein Radiale-Basisfunktionen-Netz, das die
Biimplikation berechnet, siehe Abbildung 6.5 links. Es enthält zwei versteckte Neu-
ronen, die den beiden Punkten zugeordnet sind, für die eine Ausgabe von 1 erzeugt
werden soll. In Kreisen mit Radius
2
um diese beiden Punkte wird das jeweils zuge-
hörige versteckte Neuron aktiviert (gibt eine 1 aus), siehe Abbildung 6.5 rechts. Das
Ausgabeneuron fasst diese Ausgaben lediglich zusammen: Die Ausgabe des Netzes
ist 1, wenn der Eingabevektor innerhalb eines der beiden Kreise liegt.
Logisch gesehen berechnet das obere Neuron die Konjunktion der Eingaben, das
untere ihre negierte Disjunktion. Durch das Ausgabeneuron werden die Ausgaben
der versteckten Neuronen disjunktiv verknüpft (wobei allerdings nur jeweils eines
der beiden versteckten Neuronen aktiv sein kann). Die Biimplikation wird also unter
Ausnutzung der logischen Äquivalenz
x
1
x
2
(
x
1
x
2
) ¬(
x
1
x
2
)
dargestellt. (Man vergleiche hierzu auch Abschnitt 3.4.)
Man beachte, dass es natürlich auch hier wieder dieMöglichkeit gibt, durch einen
Biaswert von
1imAusgabeneuroneineGrundausgabevon1zuerzeugen,die
durch Kreise mit Radius
2
(oder einem anderen Radius kleiner als 1) um die Punk-
te
(
1, 0
)
und
(
0, 1
)
auf 0 verringert wird. Wie für Schwellenwertelemente gibt es da-
gegen keine Möglichkeit, die Biimplikation mit nur einem (versteckten) Neuron zu
berechnen, es sei denn, man verwendet den
Mahalanobis-Abstand
als Abstandsfunkti-
on. Diese Erweiterung der Berechnungsfähigkeiten wird jedoch erst in Abschnitt 6.5
besprochen.
