Information Technology Reference
In-Depth Information
y
1
x
1
x
2
y
2
y
x
0
y
3
x
3
x
4
y
4
Abbildung 6.7: Ein Radiale-Basisfunktionen-Netz, das die Treppenfunktion aus Ab-
bildung 6.6 bzw. die stückweise lineare Funktion aus Abbildung 6.8 berechnet (je
nach Aktivierungsfunktion der versteckten Neuronen). Es ist
=
2
x
=
2
(
x
i
+
1
x
i
)
bzw.
=
x
=
x
i
+1
x
i
.
Da wir das gleiche Prinzip verwendet haben wie in Abschnitt 5.2, können wir
unmittelbar den dort gezeigten Satz übertragen:
Satz 6.1
Jede Riemann-integrierbare Funktion ist durch ein Radiale-Basisfunktionen-Netz
beliebig genau approximierbar.
Man beachte auch hier wieder, dass dieser Satz nur Riemann-Integrierbarkeit der
darzustellenden Funktion voraussetzt und
nicht
Stetigkeit. Die darzustellende Funk-
tion darf also Sprungstellen haben, jedoch in dem Bereich, in dem sie approximiert
werden soll, nur endlich viele Sprungstellen endlicher Höhe. Die Funktion muss folg-
lich „fast überall“ stetig sein.
Obwohl es die Gültigkeit des obigen Satzes nicht einschränkt, ist die Abweichung
von einer reinen Treppenfunktion, die an den Stufenkanten auftritt, störend. Sie ver-
schwindet jedoch automatisch, wenn wir die Rechteck-Aktivierungsfunktion durch
eine Dreieckfunktion ersetzen — analog zu Abschnitt 5.2, wo wir die Sprungfunk-
tion durch eine semi-lineare Funktion ersetzt haben. Durch diese Änderung wird
aus der Treppenfunktion eine stückweise lineare Funktion, die mit einem Radiale-
Basisfunktionen-Netz als gewichtete Summe sich überlappender Dreieckfunktionen
berechnet wird, siehe Abbildung 6.8. Die Näherung wird so deutlich verbessert.
Die Näherung lässt sich weiter verbessern, wenn man die Zahl der Stützstellen
erhöht, und zwar speziell in den Bereichen, in denen die Funktion stark gekrümmt
ist (wie analog auch schon in Abschnitt 5.2 angesprochen). Außerdem kann man die
Knickstellen der stückweise linearen Funktion beseitigen, indem man eine Aktivie-
rungsfunktion wie die Gaußsche Funktion verwendet, durch die „glatte“ Übergänge
entstehen.
Um die Darstellung einer Funktion durch Gaußsche Funktionen zu veranschau-
lichen, betrachten wir noch die Annäherung der in Abbildung 6.9 oben links darge-
