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liegen. Vielmehr wird man versuchen müssen, eine Gerade zu finden, von der die
Messpunkte möglichst wenig abweichen. Es ist daher plausibel, die Parameter
a
und
b
so zu bestimmen, dass die Abweichungsquadratsumme
i
=1
(
g
(
x
i
)
y
i
)
2
=
n
n
i
=1
(
a
+
bx
i
y
i
)
2
minimal wird. D. h., die aus der Geradengleichung berechneten
y
-Werte sollen (in
der Summe) möglichst wenig von den gemessenen abweichen. Die Gründe für
die Verwendung des Abweichungsquadrates sind i.w. die gleichen wie die in Ab-
schnitt 4.3 angeführten: Ersten ist die Fehlerfunktion durch die Verwendung des
Quadrates überall (stetig) differenzierbar, während die Ableitung des Betrages, den
man alternativ verwenden könnte, bei 0 nicht existiert/unstetig ist. Zweitens gewich-
tet das Quadrat große Abweichungen von der gewünschten Ausgabe stärker, so dass
vereinzelte starke Abweichungen von den Messdaten tendenziell vermieden wer-
den.
1
Eine notwendige Bedingung für ein Minimum der oben definierten Fehlerfunkti-
on
F
(
a
,
b
)
ist, dass die partiellen Ableitungen dieser Funktion nach den Parametern
a
und
b
verschwinden, also
F
(
a
,
b
)=
n
i
=1
2
(
a
+
bx
i
y
i
) =
0 d
F
a
=
n
i
=1
2
(
a
+
bx
i
y
i
)
x
i
=
F
b
=
0
gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umfor-
mungen die sogenannten
Normalgleichungen
n
i
=1
x
i
n
i
=1
y
i
na
+
b
=
n
i
=1
x
i
n
i
=1
x
i
n
i
=1
x
i
y
i
,
a
+
b
=
also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten
a
und
b
.Mankannzeigen,dassdiesesGleichungssystemeineeindeutigeLösungbe-
sitzt, es sei denn, die
x
-Werte aller Messpunkte sind identisch (d. h., es ist
x
1
=
x
2
=
...
=
x
n
), und dass diese Lösung tatsächlich einMinimum der Funktion
F
beschreibt
[Heuser 1988]. Die auf diese Weise bestimmte Gerade
y
=
g
(
x
)=
a
+
bx
nennt man
die
Ausgleichsgerade
oder
Regressionsgerade
für den Datensatz
(
x
1
,
y
1
)
,...,
(
x
n
,
y
n
)
.
Zur Veranschaulichung des Verfahrens betrachten wir ein einfaches Beispiel. Ge-
geben sei der aus acht Messpunkten
(
x
1
,
y
1
)
,...,
(
x
8
,
y
8
)
bestehende Datensatz, der
in der folgenden Tabelle gezeigt ist [Heuser 1988]:
1
Man beachte allerdings, dass dies auch ein Nachteil sein kann. Enthält der gegebene Datensatz „Aus-
reißer“ (das sind Messwerte, die durch zufällig aufgetretene, unverhältnismäßig große Messfehler sehr
weit von dem tatsächlichen Wert abweichen), so wird die Lage der berechneten Ausgleichsgerade u.U.
sehr stark von wenigen Messpunkten (eben den Ausreißern) beeinflusst, was das Ergebnis unbrauchbar
machen kann.
