Anhänge - Computational Intelligence - page 411

x 2

z = xn

| n | n | n |

z

d
| n | n

q =

| n |

g

x

x 1

O

Abbildung A.2: Bestimmung der Geradenseite, auf der ein Punkt x liegt.

Wir erhalten so einen Vektor z ,derdieProjektiondesVektors x auf die Normalen-
richtung der Gerade ist. Indem wir diesen Vektor mit dem oben bestimmten Vek-
tor q vergleichen, können wir bestimmen, auf welcher Seite der Gerade der Punkt
mit dem Ortsvektor x liegt. Es gilt:
Ein Punkt mit Ortsvektor xliegtaufderSeitederGerade,zuderderNormalenvektorn
zeigt, wenn xn > d, und auf der anderen Seite, wenn xn < d. Ist xn = d, so liegt er

auf der Gerade.
Es dürfte klar sein, dass die obigen Überlegungen nicht auf Geraden beschränkt
sind, sondern sich unmittelbar auf Ebenen und Hyperebenen übertragen lassen.
Auch für Ebenen und Hyperebenen kann man also leicht bestimmen, auf welcher
Seite ein Punkt mit gegebenem Ortsvektor liegt.

A.2 Regression

Dieser Anhang rekapituliert die in der Analysis und Statistik wohlbekannte Methode
der kleinsten Quadrate ,auch Regression genannt, zur Bestimmung von Ausgleichsge-
raden (Regressionsgeraden) und allgemein Ausgleichpolynomen. Die Darstellung
folgt im wesentlichen [Heuser 1988].
(Physikalische) Messdaten zeigen selten exakt den gesetzmäßigen Zusammen-
hang der gemessenen Größen, da sie unweigerlich mit Fehlern behaftet sind. Will
man den Zusammenhang der gemessenen Größen dennoch (wenigstens näherungs-
weise) bestimmen, so steht man vor der Aufgabe, eine Funktion zu finden, die sich
den Messdaten möglichst gut anpasst, so dass die Messfehler „ausgeglichen“ wer-
den. Natürlich sollte dazu bereits eine Hypothese über die Art des Zusammenhangs
vorliegen, um eine Funktionenklasse wählen und dadurch das Problem auf die Be-
stimmung der Parameter einer Funktion eines bestimmten Typs reduzieren zu kön-
nen.
Erwartet man z. B. bei zwei Größen x und y einen linearen Zusammenhang (z. B.
weil ein Diagramm der Messpunkte einen solchen vermuten lässt), so muss man die
Parameter a und b der Gerade y = g ( x )= a + bx bestimmen. Wegen der unver-
meidlichen Messfehler wird es jedoch i.a. nicht möglich sein, eine Gerade zu finden,
so dass alle gegebenen n Messpunkte ( x i , y i ) ,1 i n ,genauaufdieserGeraden