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G = m
G = w
p
orig
R =rR= r
R =rR= r
S
=
s
0
0
0.01
0.04
S = s
0.2
0.3
0.09
0.36
Tabe l l e 23 . 1 : Be i sp i e l ve r t e i lung mi t bed i ng t e r Unabhäng i gke i t .
23.1.2 Unabhängigkeiten
In Kapitel 22 wurde das Zerlegen einer hochdimensionalen Verteilung in mehrere
niederdimensionale Verteilungen motiviert. Die wesentliche Eigenschaft, die dabei
ausgenutzt wird, ist die (bedingte) Unabhängigkeit zwischen Attributen. Beginnen
wir zuerst mit der sog. marginalen (d. h. unbedingten) Unabhängigkeit. Wie der Na-
me suggeriert, benötigen wir ein Kriterium, welches bei zwei Zufallsvariablen
A
und
B
ausdrückt, dass es unerheblich ist, den Wert von beispielsweise
B
zu kennen, um
eine Aussage über
A
zu machen. Formal soll sich also die marginale Wahrscheinlich-
keitsverteilung von
A
nicht von bedingten Verteilungen
A
gegeben
B
unterscheiden:
Definition 23.12 (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen)
Die Zufallsvariable A ist von der Zufallsvariable B mit
0
<
P
(
B
)
<
1
genau dann (stocha-
stisch) unabhängig, wenn gilt
P
(
A
|
B
)=
P
(
A
)
oder äquivalent, wenn gilt
P
(
A
,
B
)=
P
(
A
) ·
P
(
B
).
Letzteren Ausdruck erhält man durch einsetzen der Definition 23.4
2
für
P
(
A
|
B
)
und Umstellen nach
P
(
A
,
B
)
.Manbeachte,dassdieBeziehungder(stochastischen)
Unabhängigkeit symmetrisch ist, d. h., ist A (stochastisch) unabhängig von B, so ist
auch B (stochastisch) unabhängig von A. Weiter lässt sich der Begriff der (stochasti-
schen) Unabhängigkeit leicht auf mehr als zwei Ereignisse erweitern:
Definition 23.13 (Vollständige (stochastische) Unabhängigkeit)
Sei U eine Menge von Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen in U heißen vollständig (sto-
chastisch) unabhängig, wenn gilt:
=
A
V
P
(
A
)
V
U
:
P
A
A
V
Da keine der bisher verwendeten Wahrscheinlichkeitsausdrücke einen Bedin-
gungsteil besitzt, spricht man auch von
unbedingter
oder
marginaler
Unabhängigkeit.
Tabe l l e 23 . 1 ze i g t e i ne dre id imens i ona l e Be i sp i e l ve r t e i lung mi t den boo l e s chen At t r i -
buten Geschlecht, Schwanger und Raucher.MarginalisiertmandieseVerteilungüber
das Attribut Geschlecht,erhältmandieVerteilunginAbbildung23.1(a).Berechnet
2
Diese Definition war für Ereignisse definiert. Wir verwenden hier implizit die allquantifizierte Form
über alle Werte der Zufallsvariablen.
