Information Technology Reference
In-Depth Information
p
1
R
=
rR
=
r
p
2
R
=
rR
=
r
S = s
S = s
0.01
0.04
0.05
0.015
0.035
0.05
S = s
S = s
0.29
0.66
0.95
0.285
0.665
0.95
0.30 0.70
(a) Verteilung
p
1
=
P
(
R, S
)
0.300 0.700
(b) Verteilung
p
2
=
P
(
R
) ·
P
(
S
)
p
3
R
=
rR
=
r
p
4
R
=
rR
=
r
S = s
S = s
0
0
0
0.02
0.08
0.1
S = s
S = s
0.4
0.6
1.0
0.18
0.72
0.9
0.4 0.6
(c) Verteilung
p
3
=
P
(
R, S
0.20 0.80
(d) Verteilung
p
4
=
P
(
R, S
|
G
=
m
)
|
G
=
w
)
Abbildung 23.1: Verteilungen zur Illustration der bedingten Unabhängigkeit
„Schwanger bedingt unabhängig von Raucher gegeben Geschlecht “.
man nun die Randverteilungen der verbleibenden beiden Attribute und generiert
daraus wieder die Verbundverteilung beider Attribute, wie sie Abbildung 23.1 (b)
zeigt, so sieht man, dass beide verschieden sind und somit die Größen Raucher und
Schwanger
nicht
unabhängig sind (auch wenn die Zahlenwerte einander recht nahe
kommen).
Betrachtet man jedoch die Spalten für die beiden Werte des Attributes Geschlecht
in Tabelle 23.1 separat und renormiert die Wahrscheinlichkeitswerte auf Eins, so er-
hält man die bedingten Verteilungen wie sie in den Abbildungen 23.1 (c) und 23.1 (d)
dargestellt sind.
Te s t e t man d i e se be iden Ve r t e i lungen auf Unabhäng i gke i t , wi rd man f e s t s t e l l en ,
dass in beiden Fällen die Attribute Schwanger und Raucher unabhängig sind. Wir
erhalten also eine Unabhängigkeit unter der Bedingung, dass der Wert der dritten
Va r i ab l e Geschlecht bekannt ist. Man spricht daher von der
bedingten Unabhängigkeit
von
Schwanger
und
Raucher
gegeben
Geschlecht.
Die mathematische Formulierung ergibt sich, indem man den Wahrscheinlich-
keitsausdrücken in den Gleichungen von Definition 23.12 eine (zusätzliche) Bedin-
gung einfügt:
P
(
A
|
B
,
C
)=
P
(
A
|
C
)
P
(
A
,
B
|
C
)=
P
(
A
|
C
)
P
(
B
|
C
)
Man beachte, dass die Unabhängigkeit für sämtliche Bedingungen, also für alle
möglichen Attributausprägungen von
C
gelten muss, um von bedingter Unabhän-
gigkeit gegeben
C
sprechen zu können:
a
dom(
A
) :
b
dom(
B
) :
c
dom(
C
) :
P
(
A
=
a
,
B
=
b
|
C
=
c
)=
P
(
A
=
a
|
C
=
c
)
P
(
B
=
b
|
C
=
c
)
Für den weiteren Gebrauch werden wir den auf Attributmengen erweiterten be-
dingten Unabhängigkeitsbegriff verwenden.