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werden die Ähnlichkeitsgrade zunächst komponentenweise in Form der Zugehö-
rigkeitsgrade zu den entsprechenden Fuzzy-Mengen bestimmt.
Für den durch die Regel
R
1
vorgegebenen Punkt ergibt sich so ein Ähn-
lichkeitsgrad von 2/3 = min{0.75, 0.75, 2/3}.Für
R
2
erhalten wir 0.25 =
min{0.25, 0.75, 2/3}.FürdiebeidenRegeln
R
3
und
R
4
ist der Ähnlichkeitsgrad 0, da
schon die Eingabewerte nicht zu den Regeln passen. Der Ähnlichkeitsgrad bezüg-
lich der vorgegebenen vier Punkte bzw. Regeln entspricht dem bestmöglichen Wert,
d. h. 2/3. Auf diese Weise können wir zu jedem Ausgabewert
z
einen Ähnlichkeits-
grad bei vorgegebener Eingabe (1,1) bestimmen, indem wir die eben beschriebene
Berechnung für den Punkt (1, 1,
z
) durchführen. Damit erhalten wir bei vorgegebe-
ner Eingabe (1,1) eine Funktion
µ
:
[
3, 3
] [
0, 1
]
,
die wir als Fuzzy-Menge über dem Ausgabebereich interpretieren können. Verglei-
chen wir die Berechnung mit der Berechnungsvorschrift des Mamdani-Reglers, so
erhalten wir exakt die Ausgabe-Fuzzy-Menge (19.5) des entsprechenden Mamdani-
Reglers.
19.3.2 Konstruktion eines Reglers
Anstatt die Skalierungsfaktoren bzw. Ähnlichkeitsrelationen und die entsprechen-
den Interpolationspunkte indirekt aus einem Mamdani-Regler zu bestimmen, kön-
nen diese auch direkt vorgegeben und der Mamdani-Regler daraus berechnet wer-
den. Der Vorteil besteht zum einen darin, dass man nicht mehr beliebige Fuzzy-
Mengen spezifizieren kann, sondern nur Fuzzy-Mengen, die eine gewisse Konsi-
stenz aufweisen. Zum anderen ist die Interpretation der Skalierungsfaktoren und
insbesondere der zu spezifizierenden Interpolationspunkte sehr einfach. Die Skalie-
rungsfaktoren lassen sich im Sinne des Beispiels 17.2 deuten. In den Bereichen, wo
es bei der Regelung auf sehr genaue Werte ankommt, sollte zwischen den einzelnen
We r t en auch s ehr genau unt e r s ch i eden we rden , d . h . e i n große r Ska l i e rungs f ak t or
gewählt werden, während für Bereiche, in denen es auf die exakten Werte weniger
ankommt, ein kleiner Skalierungsfaktor ausreicht. Dies führt dazu, dass in Bereichen,
in denen genau geregelt werdenmuss, bzw. in denen die Reglerausgabe sehr sensitiv
auf die Eingabe reagierenmuss, bei demzugehörigen Mamdani-Regler sehr schmale
Fuzzy-Mengen verwendet werden, während die Fuzzy-Mengen in den unbedenkli-
chen Bereichen breiter sein dürfen. Damit lässt sich auch erklären, warum die Fuzzy-
Mengen in der Nähe des Arbeitspunktes eines Reglers im Gegensatz zu anderen
Bereichen häufig sehr schmal gewählt werden: Im Arbeitspunkt ist meistens eine
sehr genaue Regelung erforderlich. Dagegen muss, wenn der Prozess sich sehr weit
vom Arbeitspunkt entfernt hat, in vielen Fällen vor allem erst einmal stark gegenge-
regelt werden, um den Prozess erst einmal wieder in die Nähe des Arbeitspunktes
zu bringen.
Bei der Verwendung der Skalierungsfunktionen wird auch deutlich, welche im-
pliziten Zusatzannahmen bei demEntwurf eines Mamdani-Reglers gemacht werden.
Die Fuzzy-Partitionen werden jeweils auf den einzelnen Bereichen definiert und
dann in den Regeln verwendet. Im Sinne der Skalierungsfunktionen bedeutet dies,
dass die Skalierungsfunktionen als unabhängig voneinander angenommen werden.
