Fuzzy-Regelsysteme - Computational Intelligence - page 316

Die Ähnlichkeit von Werten in einem Bereich hängt nicht von den konkreten Werten
in anderen Bereichen ab. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, betrachten wir
einen einfachen PD-Regler, der als Eingangsgrößen den Fehler — die Abweichung
vom Sollwert — und die Änderung des Fehlers verwendet. Es ist offensichtlich, dass
es bei einem kleinen Fehlerwert für den Regler sehr wichtig ist zu wissen, ob die
Fehleränderung eher etwas größer oder eher etwas kleiner als Null ist. Man wür-
de daher einen großen Skalierungsfaktor in der Nähe von Null des Grundbereichs
der Fehleränderung wählen, d. h. schmale Fuzzy-Mengen verwenden. Andererseits
spielt es bei einem sehr großen Fehlerwert kaum eine Rolle, ob die Fehleränderung
eher etwas in den positiven oder negativen Bereich tendiert. Dies spricht aber für
einen kleinen Skalierungsfaktor in der Nähe von Null des Grundbereichs der Fehler-
änderung, also für breite Fuzzy-Mengen. Um dieses Problem zu lösen, gibt es drei
Möglichkeiten:
1. Man spezifiziert eine Ähnlichkeitsrelation im Produktraum von Fehler und
Fehleränderung, die die oben beschriebene Abhängigkeit modelliert. Dies er-
scheint allerdings äußerst schwierig, da sich die Ähnlichkeitsrelation im Pro-
duktraum nicht mehr über Skalierungsfunktionen angeben lässt.
2. Man wählt einen hohen Skalierungsfaktor in der Nähe von Null des Grundbe-
reichs der Fehleränderung und muss dafür unter Umständen, wenn der Feh-
lerwert groß ist, viele fast identische Regeln haben, die sich nur bei der Fuzzy-
Menge für die Fehleränderung unterscheiden, etwa
If Fehler is großand Änderung is positivklein then y is negativ.
If Fehler is großand Änderung is null then y is negativ.
If Fehler is großand Änderung is negativklein then y is negativ.
3. Man verwendet Regeln, in denen nicht alle Eingangsgrößen vorkommen, z. B.
If Fehler is großthen y is negativ.
Die Interpretation des Mamdani-Reglers im Sinne der Ähnlichkeitsrelationen er-
klärt auch, warum es durchaus sinnvoll ist, dass sich benachbarte Fuzzy-Mengen
einer Fuzzy-Partition auf der Höhe 0.5 schneiden. Eine Fuzzy-Menge stellt einen (un-
scharfen) Wert dar, der später bei den Interpolationspunkten verwendet wird. Wenn
ein Wert spezifiziert wurde, lässt sich aufgrund der Ähnlichkeitsrelationen etwas
über ähnliche Werte aussagen, so lange bis der Ähnlichkeitsgrad auf Null abgefallen
ist. An dieser Stelle sollte spätestens ein neuer Wert für die Interpolation eingeführt
werden. Dieses Konzept führt dazu, dass sich die Fuzzy-Mengen genau auf der Hö-
he 0.5 schneiden. Man könnte die Interpolationspunkte natürlich auch beliebig dicht
setzen, sofern entsprechend detaillierte Kenntnisse über den zu regelnden Prozess
vorhanden sind. Dies würde zu sehr stark überlappenden Fuzzy-Mengen führen.
Im Sinne einer möglichst kompakten Repräsentation des Expertenwissens wird man
dies aber nicht tun, sondern erst dann neue Interpolationspunkte einführen, wenn
es nötig ist.
Selbst wenn ein Mamdani-Regler nicht die Voraussetzungen einer der Sätze 17.2
oder 17.3 erfüllt, kann es sinnvoll sein, die zugehörigen Ähnlichkeitsrelationen aus