Information Technology Reference
In-Depth Information
positiv
groß
negativ
mittel
1
klein
1
null
0 1 2 3 4 5 6
-3 -2 -1 0 1 2 3
Abbildung 19.8: Zwei Fuzzy-Partitionen
Die verwendeten Fuzzy-Partitionen erfüllen die Voraussetzungen von Satz 17.3,
so dass sich geeignete Skalierungsfunktionen finden lassen. Für die linke Fuzzy-
Partition in Abbildung 19.8 lautet die Skalierungsfunktion
falls 0
x
<
4
0.25
c
1
:
[
0, 6
] [
0,
)
,
x
falls 4
x
6,
0.5
für die rechte Fuzzy-Partition
x
1
c
2
: [3, 3] [0, ),
3
.
Die Fuzzy-Mengen klein,mittel,groß,negativ,nullund positiventsprechen den ex-
tensionalen Hüllen der Punkte 0, 4, 6,
3, 0 bzw. 3, wenn die durch die angegebenen
Skalierungsfunktionen induzierten Ähnlichkeitsrelationen zugrundegelegt werden.
Die vier Regeln besagen dann, dass der Graph der durch den Regler beschriebe-
nen Funktion durch die Punkte (0,0,3), (4,0,0), (4,6,0) und (6,6,
3) gehen sollte.
Die Interpretation auf der Basis der Ähnlichkeitsrelationen in dem obigen Bei-
spiel liefert vier Punkte auf demGraphen der gesuchten Funktion und zusätzlich die
Information, die in den Ähnlichkeitsrelationen steckt. Die Berechnung der gesamten
Funktion stellt somit eine Interpolationsaufgabe dar: Gesucht ist eine Funktion, die
durch die vorgegebenen Punkte geht und im Sinne der Ähnlichkeitsrelationen ähn-
liche Werte wiederum auf ähnliche Werte abbildet.
Wenn wi r be i sp i e l swe i s e den Ausgabewe r t f ür d i e E i ngabe ( 1 , 1 ) be re chnen wo l -
len, so ist (1,1) am ähnlichsten zu der Eingabe (0,0), für die wir den Ausgabewert 3
aufgrund der Regeln kennen. Der Ähnlichkeitsgrad von 1 zu 0 ist nichts anderes als
der Zugehörigkeitsgrad des Wertes 1 zur extensionalen Hülle von 0, d. h. zur Fuzzy-
Menge klein,also0.75.Einegewisse,wennauchetwasgeringereÄhnlichkeitweist
die Eingabe (1,1) noch zu der Eingabe (4,0) auf. Der Ähnlichkeitsgrad von 1 zu 4
beträgt 0.25, der von 1 zu 0 wiederum 0.75. Der Ausgabewert zu (1,1) sollte also vor
allem ähnlich zum Ausgabewert 3 der Eingabe (0,0) und ein bisschen ähnlich zum
Ausgabewert 0 zur Eingabe (4,0) sein.
Hierbei haben wir bisher offen gelassen, wie die beiden Ähnlichkeitsgrade, die
man durch die beiden Komponenten der Eingangswerte erhält, zu aggregieren sind.
Hier bietet sich eine t-Norm, z. B. das Minimum an. Wie gut ist beispielsweise der
Ausgabewert 2 für die Eingabe (1,1)? Hierzu berechnen wir den Ähnlichkeitsgrad
des Punktes (1,1,2) zu den durch die vier Regeln vorgegebenen Punkten. Dabei
