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In-Depth Information
ist eine gewöhnliche Funktion punktweise über einem Produktraum endlicher Men-
gen in der Form
falls
x
1
=
x
(
1
)
und . . . und
x
n
=
x
(
n
)
y
1
,
1
1
.
y
r
f
(
x
1
,...,
x
n
)
(19.3)
falls
x
1
=
x
(1)
und . . . und
x
n
=
x
(
n
)
r
r
gegeben, erhält man ihren Graphen mittels der Formel
r
ˆ
1
({
x
(1)
}) ...
ˆ
n
({
x
(
n
)
graph(
f
)=
})
ˆ
Y
({
y
i
})
.
(19.4)
i
i
i
=
1
Eine
Fuzzifizierung
dieser Formel unter Verwendung des Minimums für den Durch-
schnitt und des Maximums (Supremums) für die Vereinigung ergibt als Fuzzy-Gra-
phen der durch die Regelmenge
R
beschriebenen Funktion die Fuzzy-Menge
µ
R
:
X
1
...
X
n
Y
[
0, 1
]
,
{min{
µ
(
1
)
(
x
1
),...,
µ
(
n
)
(
x
1
,...,
x
n
,
y
) sup
R
R
(
x
n
),
µ
R
(
y
)}
R
R
bzw.
µ
R
:
X
1
...
X
n
Y
[
0, 1
]
,
{min{
µ
(1)
R
i
(
x
1
),...,
µ
(
n
)
(
x
1
,...,
x
n
,
y
) max
i
{
1,...,
r
}
(
x
n
),
µ
R
i
(
y
)}
R
i
im Falle einer endlichen Regelbasis
R = {
R
1
,...,
R
r
}
.
Falls ein konkreter Eingangsvektor
(
a
1
,...,
a
n
)
vorliegt für die Eingangsgrößen
x
1
,...,
x
n
vor, erhält man als „Ausgangswert“ die Fuzzy-Menge
µ
output
R,
a
1
,...,
a
n
:
Y
[
0, 1
]
,
y
µ
R
(
a
1
,...,
a
n
,
y
)
.
Die Fuzzy-Menge
µ
R
kann als Fuzzy-Relation über den Mengen
X
1
...
X
n
und
Y
interpretiert werden. Die Fuzzy-Menge
µ
output
R,
a
1
,...,
a
n
entspricht dann dem Bild
der einelementigen Menge {(
a
1
,...,
a
n
)} bzw. ihrer charakteristischen Funktion un-
ter der Fuzzy-Relation
µ
R
. Im Prinzip könnte daher anstelle eines scharfen Eingangs-
vektors auch eine Fuzzy-Menge als Eingabe verwendet werden. Aus diesem Grund
wird bei Fuzzy-Reglern häufig von
Fuzzifizierung
gesprochen, d. h. der Eingangsvek-
tor
(
a
1
,...,
a
n
)
wird in eine Fuzzy-Menge umgewandelt, was i.A. nur der Darstel-
lung als charakteristische Funktion einer einelementigen Menge entspricht.
Man kann die Fuzzifizierung auch in einem anderen Sinne interpretieren. Im Ab-
schnitt über Fuzzy-Relationen haben wir gesehen, dass man das Bild einer Fuzzy-
Menge unter einer Fuzzy-Relation erhält, indem man die Fuzzy-Menge zylindrisch
erweitert, den Durchschnitt mit der zylindrischen Erweiterung mit der Fuzzy-Rela-
tion bildet und das Ergebnis in den Bildraum projiziert. In diesem Sinne kann man
die zylindrische Erweiterung des gemessenen Tuples bzw. die zugehörige charakte-
ristische Funktion als Fuzzifizierung auffassen, die für die Durchschnittsbildung mit
der Fuzzy-Relation notwendig ist.
