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y
B
3
B
2
B
1
R
3
R
2
R
1
A
1
A
2
A
3
x
x
1
x
1
Abbildung 19.1: Die Projektion eines Eingabewertes
x
1
auf die Ausgabe Achse
y
.
Abbildung 19.1 veranschaulicht diese Vorgehensweise. Um eine grafische Dar-
stellung zu ermöglichen, werden nur eine Eingangsgröße und die Ausgangsgröße
betrachtet. Im Bild sind drei Regeln dargestellt, wobei die Fuzzy-Mengen auf der
vorderen Achse von links nach rechts den Fuzzy-Mengen auf der nach hinten verlau-
fenden Achse entsprechend von vorn nach hinten durch die drei Regeln zugeordnet
werden. Die Fuzzy-Relation
µ
R
wird durch die drei Pyramiden im Bild repräsentiert.
Ist der Eingangswert
x
gegeben, so wird durch die zylindrische Erweiterung von {
x
}
eine Schnittfläche durch die Pyramiden definiert. Die Projektion dieser Schnittfläche
auf die nach hinten verlaufende Achse ergibt die Fuzzy-Menge
µ
output
R,
x
,diedenge-
suchten Ausgangswert unscharf charakterisiert.
Schematisch lässt sich die Berechnung des Stellwertes folgendermaßen veran-
schaulichen. In Abbildung 19.2 werden zwei Regeln eines Mamdani-Reglers mit
zwei Eingangsgrößen und einer Ausgangsgröße betrachtet. Zunächst wird nur eine
der beiden Regeln — nennen wir sie
R
—betrachtet.DerErfüllungsgradderPrämis-
se für die vorliegenden Eingangswerte wird in Form des Minimums der jeweiligen
Zugehörigkeitsgrade zu den entsprechenden Fuzzy-Mengen bestimmt. Die Fuzzy-
Menge in der Konklusion der Regel wird dann auf der Höhe des vorher bestimmten
Erfüllungsgrades „abgeschnitten“, d. h. als Zugehörigkeitsgrad eines Ausgangswer-
tes ergibt sich das Minimum aus Zugehörigkeitsgrad zur Konklusions-Fuzzy-Menge
und Erfüllungsgrad der Regel.
Ist der Erfüllungsgrad der Regel 1, so erhält man exakt die Konklusions-Fuzzy-
Menge als Resultat, d. h.
µ
R
=
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
.KanndieRegelimFalledesbetrachteten
Eingangsvektors nicht angewendet werden (Erfüllungsgrad 0), folgt
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
=
0,
d. h. aufgrund der Regel kann nichts über den Ausgangswert ausgesagt werden.
Analog wird mit den anderen Regeln verfahren— in Abbildung 19.2 ist nur eine
weitere dargestellt —, so dass man für jede Regel
R
eine Fuzzy-Menge
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
er-
hält, die aber nur für die „feuernden“, d. h. bei dem aktuell vorliegenden Eingangs-
vektor anwendbaren Regeln nicht identisch 0 ist. Diese Fuzzy-Mengen müssen im
nächsten Schritt zu einer einzelnen, den Ausgangswert charakterisierenden Fuzzy-
Menge zusammengefasst werden.
Um zu erklären, auf welche Weise diese Aggregation durchgeführt wird, greifen
wir noch einmal die Interpretation der Regelbasis des Fuzzy-Reglers im Sinne einer
unscharfen, stückweisen Definition einer Funktion (vergleiche (19.2)) auf. Bei einer
gewöhnlichen stückweise definierten Funktion müssen die einzelnen Fälle disjunkt
