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Menge
{
A
}
{
B
}
{
C
}
{
A
,
B
}
{
A
,
B
,
C
}
beobachtete Anzahl
15
20
45
10
10
Tabe l l e 18 . 1 : Mengenwe r t i ge Beoba chtungen von F lugzeug t ypen
EineWahrscheinlichkeit für die einzelnen Flugzeuge lässt sich nun nicht mehr oh-
ne Zusatzannahmen über die Verteilung der Flugzeugtypen bei den Beobachtungen
{
A
,
B
}
und
{
A
,
B
,
C
}
angeben. Eine Alternative bieten hier die (nicht-normalisierten)
Possibilitätsverteilungen. Anstelle einer Wahrscheinlichkeit im Sinne einer relativen
Häufigkeit bestimmt man einen
Möglichkeitsgrad
,indemmandenQuotientenaus
den Fällen, in denen das Auftreten des entsprechenden Flugzeugs aufgrund der be-
obachteten Menge möglich ist, und der Gesamtzahl der Beobachtungen bildet. Auf
diese Weise erhält man als Möglichkeitsgrad 35/100 für A, 40/100 für B und 55/100
für C. Diese „Fuzzy-Menge“ über der Grundmenge
{
A,B,C
}
bezeichnet man dann
als
Possibilitätsverteilung
.
Dieses Beispiel verdeutlicht den klaren Unterschied zwischen einer possibilisti-
schen und einer auf Ähnlichkeitsrelationen basierenden Interpretation von Fuzzy-
Mengen. Der possibilistischen Sicht liegt eine Form von Unsicherheit zugrunde, bei
der das wahrscheinlichkeitstheoretische Konzept der relativen Häufigkeit durch
Möglichkeitsgrade ersetzt wird. Die Grundlage der Ähnlichkeitsrelationen bildet
nicht ein Unsicherheitsbegriff, sondern eine Vorstellung von Ununterscheidbarkeit
oder Ähnlichkeit, insbesondere als Dualität zum Konzept des Abstandes. Bei den
Fuzzy-Reglern steht eher die Modellierung von Impräzision auf der Basis „kleiner
Abstände“ im Vordergrund, so dass für das Verständnis der Fuzzy-Regler die Ähn-
lichkeitsrelationen wichtiger sind.
Die Possibilitätstheorie [Dubois u. Prade 2001, Zadeh 1978] lässt sich ähnlich
wie die Wahrscheinlichkeitstheorie mit Hilfe sehr einfacher Axiome aufbauen. Dabei
wird der Begriff des Wahrscheinlichkeitsmaßes durch das Konzept des Possibilitäts-
maßes ersetzt. Possibilitätsmaße unterscheiden sich von Wahrscheinlichkeitsmaßen
dadurch, dass sie die nicht mehr die Eigenschaft der Additivität erfüllen müssen.
Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P
gilt für beliebige disjunkte (messbare) Mengen
das additive Gesetz
P
(
A
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
),
das bei Possibilitätsmaßen
durch die Eigenschaft
(
A
B
)=max
{
(
A
),
(
B
)
}
ersetzt wird. Diese Überlegungen führen zu dem allgemeineren Begriff der nicht-
additiven Maße wie sie beispielsweise in Denneberg [2010] behandelt werden.
