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Kapitel 18
Possibilitätstheorie und
verallgemeinerte Maße
Die Interpretation von Fuzzy-Mengen Sinne von Ähnlichkeitsrelationen ist bei wei-
tem nicht die einzige mögliche Sichtweise, wie die Possibilitätstheorie zeigt. Es wür-
de zu weit führen, detailliert zu erläutern, wie Fuzzy-Mengen als Possibilitätsvertei-
lungen aufgefasst werden können. Das folgende Beispiel vermittelt eine Idee, wie
Possibilitätsverteilungen interpretiert werden können.
Beispiel 18.1
Wir betrachten ein kleines Gebiet in dem Flugzeuge mit einer auto-
matischen Kamera beobachtet werden. Die Aufzeichnungen mehrerer Tage ergeben,
dass 20 Flugzeuge vom Typ A, 30 vom Typ B und 50 vom Typ C das Gebiet über-
quert haben. Wenn man hört, dass ein Flugzeug über das Gebiet fliegt, würde man
annehmen, dass es sich mit 20-, 30- bzw. 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit um ein
Flugzeug des Typs A, B bzw. C handelt.
Dieses Beispiel soll nun leicht modifiziert werden, um die Bedeutung von Pos-
sibilitätsverteilungen zu erläutern. Zusätzlich zu der automatischen Kamera steht
ein Radargerät und ein Mikrophon zur Verfügung. Wiederum wurden 100 Flug-
zeuge mit Hilfe des Mikrophons registriert. Allerdings konnten aufgrund schlechter
Sichtverhältnisse durch die Kamera nur 70 Flugzeuge eindeutig identifiziert werden,
nämlich 15 vom Typ A, 20 vom Typ B und 35 vom Typ C. Bei den restlichen 30 Flug-
zeugen ist das Radargerät bei 10 Flugzeugen ausgefallen, so dass über den Typ dieser
Flugzeuge nichts ausgesagt werden kann. Über die 20 Flugzeuge, die das Radarge-
rät geortet hat und die nicht durch die Kamera identifiziert werden konnten, lässt
sich sagen, dass 10 eindeutig vom Typ C sind, da dieser Flugzeugtyp durch seine
wesentlich geringere Größe durch das Radar von den Typen A und B unterschieden
werden kann, während die anderen 10 vom Typ A oder B sein müssen.
Die 100 Beobachtungen liegen jetzt nicht mehr wie im ersten Fall vor, in dem
man bei jeder Beobachtung genau einen Flugzeugtyp identifizieren konnte und so-
mit für jeden Flugzeugtypen genau angeben konnte, wie oft er beobachtet wurde.
Jetzt lassen sich die einzelnen Beobachtungen als Mengen möglicher Flugzeuge dar-
stellen. Wie oft die jeweilige Menge beobachtet wurde, ist noch einmal in Tabelle 18.1
zusammengefasst.
