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Abbildung 17.5: Fuzzy-Mengen, für die sich eine Skalierungsfunktion definieren
lässt
We i s e i nt e rpre t i e r t . E i ne e i ndeut i ge Fe s t l egung , wa s e i n Zugehör i gke i t s - ode r Ähn-
lichkeitsgrad von 0.8 oder 0.9 bedeutet und worin der Unterschied zwischen beiden
besteht, außer, dass 0.9 größer als 0.8 ist, wird nicht näher festgelegt.
Ähnlichkeitsrelationen bezüglich der
ukasiewicz-t-Norm lassen sich auf Pseu-
dometriken zurückführen. Das Konzept der Metrik bzw. der Abstandsbegriff ist zu-
mindest bei dem Umgang mit reellen Zahlen elementar und bedarf keiner weiteren
Erklärung. In diesem Sinne sind Ähnlichkeitsrelationen auf den reellen Zahlen, die
durch die kanonische Metrik — eventuell unter Berücksichtigung einer geeigneten
Skalierung — induziert werden, als elementares Konzept anzusehen, bei dem die
Ähnlichkeitsgrade dual zum Abstandsbegriff bei Metriken interpretiert werden.
Fuzzy-Mengen lassen sich wiederum als aus Ähnlichkeitsrelationen abgeleitetes
Konzept im Sinne extensionaler Hüllen von Punkten oder Mengen auffassen, so dass
auf diese Weise den Zugehörigkeitsgraden eine konkrete Bedeutung beigemessen
wird. Es stellt sich die Frage, inwieweit Fuzzy-Mengen in diesem Sinne interpretiert
werden sollten. Die Antwort lautet sowohl ja als auch nein. Ja, in dem Sinne, dass
eine fehlende Interpretation der Zugehörigkeitsgrade dazu führt, dass die Wahl der
Fuzzy-Mengen und der Operationen wie t-Normen mehr oder weniger willkürlich
wird und sich als reines Parameteroptimierungsproblem darstellt. Ja, auch in dem
Sinne, dass man es zumindest im Bereich der Fuzzy-Regler i.a. mit reellen Zahlen zu
tun hat und dass nicht willkürliche Fuzzy-Mengen im Sinne beliebiger Funktionen
von den reellen Zahlen in das Einheitsintervall verwendet werden, sondern üblicher-
weise Fuzzy-Mengen, die auf der Basis von Ähnlichkeitsrelationen interpretierbar
sind. Auch die vorgestellten Zusammenhänge zwischen Fuzzy-Mengen und Ähn-
lichkeitsrelationen, die es ermöglichen, aus Ähnlichkeitsrelationen Fuzzy-Mengen
abzuleiten und umgekehrt, Ähnlichkeitsrelationen zu Fuzzy-Mengen zu bestimmen,
sprechen für die Interpretation der Fuzzy-Mengen mittels Ähnlichkeitsrelationen.
