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•
Es existiert ein x
µ
R
mit
µ
(
x
µ
)=
1
.
•
µ
ist (als reellwertige Funktion) auf
(,
x
µ
]
monoton steigend.
•
µ
ist auf
[
x
µ
, )
monoton fallend.
•
µ
ist stetig.
•
µ
ist fast überall differenzierbar.
Es existiert genau dann eine Skalierungsfunktion c
:
R
[
0,
)
,sodassfüralle
µ
A
die
extensionale Hülle des Punktes x
µ
bezüglich der Ähnlichkeitsrelation
y
E
(
x
,
y
)=
1
min
c
(
s
)
ds
,1
x
mit der Fuzzy-Menge
µ
übereinstimmt, wenn die Bedingung
d
µ
(
x
)
dx
d
(
x
)
dx
min
{
µ
(
x
)
,
(
x
)}
>
0
=
(17.4)
für alle
µ
,
A
fast überall erfüllt ist. In diesem Fall kann
d
µ
(
x
)
dx
falls
µ
A
und
µ
(
x
)
>
0
c
:
R
[
0,
)
,
x
0
sonst
als (fast überall wohldefinierte) Skalierungsfunktion gewählt werden.
Beispiel 17.3
Umzu veranschaulichen, wie extensionale Hüllen von Punkten bezüg-
lich einer durch eine stückweise konstante Skalierungsfunktion induzierte Ähnlich-
keitsrelation aussehen, greifen wir noch einmal die Skalierungsfunktion
0
falls
0
s
<
15
0.25
falls
15
s
<
19
c
:
[
0, 35
) [
0,
)
,
s
1.5
falls
19
s
<
23
0.25
falls
23
s
<
27
27
s
<
35.
0
falls
aus Beispiel 17.2 auf. Abbildung 17.3 zeigt die extensionalen Hüllen der Punkte 15,
19, 21, 23 und 27 bezüglich der Ähnlichkeitsrelation, die durch die Skalierungsfunk-
tion
c
induziert wird.
Dass gerade diese extensionalen Hüllen Dreiecks- oder Trapezfunktionen dar-
stellen, liegt daran, dass die Skalierungsfunktion links bzw. rechts der angegebenen
Punkte sich frühestens dann ändert, wenn der Ähnlichkeitsgrad zu dem betrachte-
ten Punkt auf null gesunken ist. Wählt man Punkte, in deren Nähe sich die Skalie-
rungsfunktion ändert, die aber nicht direkt auf einer Sprungstelle der Skalierungs-
funktion liegen, ergeben sich i.a. nur stückweise lineare, konvexe Fuzzy-Mengen als
extensionale Hülle von Punkten, wie sie in Abbildung 17.4 zu sehen sind.
