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dann die Eigenschaft
µ
besitzt, wenn auch
y
sie besitzt. Ordnet man der Aussage
„
x
besitzt die Eigenschaft
µ
“denWahrheitswert
µ
(
x
)
zu und interpretiert „genau
dann, wenn“ mit der Biimplikation
t
,soergibtsich,wenn„fürjede“imSinnedes
Infimums aufgefasst wird, gerade die Formel (17.2) für den Ähnlichkeitsgrad zweier
Elemente.
Beispiel 17.1 zeigte, dass typische Fuzzy-Mengen wie Dreiecksfunktionen als ex-
tensionale Hüllen einzelner Punkte auftreten. Für die Fuzzy-Regler wird die Inter-
pretation einer Fuzzy-Menge als unscharfer Punkt sehr hilfreich sein. Wir widmen
uns daher noch der Frage, wann die Fuzzy-Mengen in einer vorgegebenen Menge
AF(
X
) von Fuzzy-Mengen als extensionale Hüllen von Punkten aufgefasst wer-
den können.
Satz 17.2
Es sei t eine stetige t-Norm und
AF(
X
)
eine Menge von Fuzzy-Mengen.
Zu jedem
µ
A
existiere ein x
µ
Xmit
µ
(
x
µ
)=
1
.EsexistiertgenaudanneineÄhn-
lichkeitsrelation E, so dass für alle
µ
A
die extensionale Hülle des Punktes x
µ
mit der
Fuzzy-Menge
µ
übereinstimmt, wenn die Bedingung
}
inf
y
X
{
sup
x
X
{
t
µ
(
x
)
,
(
x
)
t
µ
(
y
)
,
(
y
)
}
(17.3)
für alle
µ
,
A
erfüllt ist. In diesem Fall ist E
=
E
A
die gröbste Ähnlichkeitsrelation, bei
der die Fuzzy-Mengen in
A
als extensionale Hüllen von Punkten aufgefasst werden können.
Die Bedingung (17.3) besagt, dass der Nicht-Disjunktheitsgrad zweier beliebi-
ger Fuzzy-Mengen
µ
,
A
nicht größer sein darf als ihr Gleichheitsgrad. Die ent-
sprechenden Formeln ergeben sich, indem die folgenden Bedingungen im Sinne der
Fuzzy-Logik interpretiert werden:
• Zwei Mengen
µ
und
sind genau dann nicht disjunkt, wenn gilt
(
x
)(
x
µ
x
).
• Zwei Mengen
µ
und
sind genau dann gleich, wenn gilt
(
y
)(
y
µ
y
)
.
Die Bedingung (17.3) aus Satz 17.2 ist insbesondere dann automatisch erfüllt,
wenn die Fuzzy-Mengen
µ
und
bezüglich der t-Norm
t
disjunkt sind, d. h., es
gilt
t
µ
(
x
),
(
x
)
= 0füralle
x
X
.DerBeweisdiesesSatzesfindetsichin
Kruse u. a. [1995].
Die Variablen, die bei Fuzzy-Reglern eine Rolle spielen, sind üblicherweise reell.
Ähnlichkeitsrelationen über den reellen Zahlen lassen sich sehr einfach und sinnvoll
auf der Grundlage von Skalierungsfunktionen basierend auf dem Abstandsbegriff,
wie er in der Formel (17.1) gegeben ist, definieren. Für den Fall, dass die Ähnlichkeits-
relation im Satz 17.2 durch eine Skalierungsfunktion induziert werden soll, wurde
in Klawonn [1994] das folgende Resultat bewiesen.
Satz 17.3
Es sei
AF(
R
)
eine nicht-leere, höchstens abzählbare Menge von Fuzzy-Men-
gen, so dass für jedes
µ
A
gilt:
