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Dieses Beispiel stellt eine interessante Verbindung zwischen Fuzzy-Mengen und
Ähnlichkeitsrelationen her: die in der Praxis häufig verwendeten Dreiecks- und Tra-
pezfunktionen lassen sich als extensionale Hüllen von Punkten bzw. Intervallen in-
terpretieren, d. h., als unscharfe Punkte bzw. Intervalle in einer vagen Umgebung,
die durch die von der üblichen Metrik auf den reellen Zahlen induzierten Ähnlich-
keitsrelation charakterisiert wird.
17.2 Skalierungskonzepte
Die übliche Metrik auf den reellen Zahlen lässt nur sehr eingeschränkte Formen von
Dreiecks- und Trapezfunktionen als extensionale Hüllen von Punkten bzw. Interval-
len zu: der Betrag der Steigung der Schrägenmuss eins sein. Es ist allerdings sinnvoll,
Skalierungen der üblichen Metrik zu erlauben, so dass sich auch andere Formen von
Fuzzy-Mengen als extensionale Hüllen ergeben. Diese Skalierungen können zweier-
lei Bedeutungen haben.
Der Ähnlichkeitsgrad zweier Messwerte hängt stark von der Maßeinheit ab.
Zwei Messwerte in Kilo-Einheiten gemessen können einen sehr geringen Abstand
haben und daher als nahezu ununterscheidbar bzw. ziemlich ähnlich angesehen wer-
den, während dieselben Werte in Milli-Einheiten angegeben sehr weit voneinander
entfernt liegen und als unterscheidbar erachtet werden. Um die Ähnlichkeitsrelation
an die Maßeinheit anzupassen, muss der Abstand oder die reelle Achse wie im Bei-
spiel 16.10 mit einer Konstanten
c
>
0skaliertwerden,sodasssichalsskalierteMe-
trik |
c
·
x
c
·
y
| ergibt, die die Ähnlichkeitsrelation
E
(
x
,
y
)=1min{|
c
·
x
c
·
y
|,1}
induziert.
Eine Erweiterung dieses Skalierungskonzepts besteht in der Verwendung varia-
bler Skalierungsfaktoren, die eine lokale problemabhängige Skalierung ermöglichen.
Beispiel 17.2
Das Verhalten einer Klimaanlage soll mit unscharfen Regeln beschrie-
ben werden. Es ist weder notwendig noch sinnvoll, die Raumtemperatur, auf die die
Klimaanlage reagiert, mit einer möglichst großen Genauigkeit zu messen. Jedoch
spielen die einzelnen Temperaturen unterschiedliche Rollen. So sind beispielsweise
Tempe r a turen von 10
Coder15
Calsvielzukaltanzusehen,unddieKlimaanlage
sollte mit voller Leistung heizen, genauso wie Werte von 27
Coder32
Calsvielzu
warm zu beurteilen sind und die Klimaanlage daher mit voller Leistung kühlen soll-
te. Eine Unterscheidung der Werte 10
Cund15
Cbzw.27
Cund32
Cistdaherfür
die Regelung der Raumtemperatur irrelevant. Da zwischen 10
Cund15
Cnichtun-
terschieden werden muss, bietet sich ein sehr kleiner, positiver Skalierungsfaktor an
— im Extremfall sogar der Skalierungsfaktor Null, bei dem die Temperaturen über-
haupt nicht unterschieden werden. Es wäre jedoch falsch, für den gesamten Tem-
peraturbereich einen kleinen Skalierungsfaktor zu wählen, da die Klimaanlage z. B.
zwischen der zu kalten Temperatur 18.5
CundderzuwarmenTemperatur23.5
C
sehr deutlich unterscheiden muss.
Anstelle eines globalen Skalierungsfaktors sollten hier verschiedene Skalierungs-
faktoren für einzelne Bereiche gewählt werden, so dass bei Temperaturen, die na-
he der optimalen Raumtemperatur liegen, eine feine Unterscheidung vorgenommen
wird, während bei viel zu kalten bzw. viel zu warmen Temperaturen jeweils nur sehr
