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1
x
0
x
0
1
x
0
+
1
a
1
a
b
+ 1
b
Abbildung 17.1: Die extensionale Hülle des Punktes
x
0
und des Intervalls
[
a
,
b
]
x
ist ein Element der Fuzzy-Menge
µ
UND
x
und
y
sind ähnlich (ununterscheidbar)
höchstens so groß sein sollte wie der Wahrheitswert der Aussage
y
ist ein Element der Fuzzy-Menge
µ
,
wobei der Konjunktion
UND
als Wahrheitswertfunktion die t-Norm
t
zugeordnet
wird.
Eine Fuzzy-Menge kann immer zu einer extensionalen Fuzzy-Menge erweitert
werden, indem man zu ihr alle Elemente hinzufügt, die zumindest zu einem ihrer
Elemente ähnlich sind. Formalisiert man diese Idee, ergibt sich die folgende Defini-
tion.
Definition 17.3
Es sei E
:
X
X
[0, 1]
eine Ähnlichkeitsrelation bezüglich der t-Norm
taufderGrundmengeX.DieextensionaleHülle
µ
der Fuzzy-Menge
µ
F(
X
)
(bezüglich
der Ähnlichkeitsrelation E) ist durch
µ
(
y
)=
sup
t
E
(
x
,
y
)
,
µ
(
x
)
|
x
X
gegeben.
Ist
t
eine stetige t-Norm, so ist die extensionale Hülle
µ
von
µ
die kleinste exten-
sionale Fuzzy-Menge, die
µ
enthält — enthalten sein im Sinne von .
Man erhält die extensionale Hülle einer Fuzzy-Menge
µ
unter der Ähnlichkeits-
relation
E
im Prinzip als das Bild von
µ
unter der Fuzzy-Relation
E
wie in der Defi-
nition 16.2. Allerdings ist bei der extensionalen Hülle das Minimum in der Formel
(16.5) in Definition 16.2 durch die t-Norm
t
ersetzt.
Beispiel 17.1
Wir betrachten die Ähnlichkeitsrelation
E
:
R
[
0, 1
]
,
E
(
x
,
y
)=
1
min
{|
x
y
|
,1
}
bezüglich der
ukasiewicz-t-Norm, die durch die übliche Metrik
(
x
,
y
)=|
x
y
|
auf den reellen Zahlen induziert wird. Eine (gewöhnliche) Menge
M
R
R
lässt sich durch ihre charakteristische Funktion
I
M
als Fuzzy-Menge auffas-
sen, so dass sich auch extensionale Hüllen gewöhnlicher Mengen berechnen lassen.
Die extensionale Hülle eines Punktes
x
0
,d.h.dereinelementigenMenge
x
0
,be-
züglich der oben angegebenen Ähnlichkeitsrelation
E
ergibt eine Fuzzy-Menge in
Form der Dreiecksfunktion
x
0
1,
x
0
,
x
0
+1
. Die extensionale Hülle des Intervalls
[
a
,
b
]
ist die Trapezfunktion
a
1,
a
,
b
,
b
+1
(vergleiche Abbildung 17.1).
