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wobei der Konjunktion
UND
als Wahrheitswertfunktion die t-Norm
t
zugeordnet
wird.
Im Beispiel 16.10 haben wir bereits ein Beispiel für eine Ähnlichkeitsrelation ken-
nengelernt, nämlich die Fuzzy-Relation
:
R
R
[
0, 1
]
,
(
x
,
y
)
1
min
{
10
|
x
y
|
,1
}
,
die angibt, inwieweit zwei Werte mit einem Messgerät unterscheidbar sind. Es lässt
sich leicht nachweisen, dass diese Fuzzy-Relation eine Ähnlichkeitsrelation bezüg-
lich der
ukasiewicz-t-Norm
t
(
,
)=
max
{
+
1, 0
}
ist. Wesentlich allgemei-
ner gilt, dass eine beliebige Pseudometrik, d. h., ein Abstandsmaß
:
X
X
[
0,
)
,dasdieSymmetriebedingung
(
x
,
y
)=
(
y
,
x
)
und die Dreiecksungleichung
(
x
,
y
)+
(
y
,
z
)
(
x
,
z
)
erfüllt, mittels
E
(
)
(
x
,
y
)=
1
min
{
(
x
,
y
)
,1
}
eine Ähnlichkeitsrelation bezüglich der
ukasiewicz-t-Norm induziert und umge-
kehrt, dass jede Ähnlichkeitsrelation
E
bezüglich der
ukasiewicz-t-Norm durch
(
E
)
(
x
,
y
)=
1
E
(
x
,
y
)
eine Pseudometrik definiert. Es gelten die Beziehungen
E
=
E
(
(
E
)
)
und
(
x
,
y
)=
(
E
(
)
)
(
x
,
y
)
,falls
(
x
,
y
)
1gilt,sodassÄhnlichkeitsrelationenund(durcheins
beschränkte) Pseudometriken als duale Konzepte angesehen werden können.
Wir werden später noch sehen, dass es sinnvoll ist, Ähnlichkeitsrelationen bezüg-
lich anderer t-Normen als der
ukasiewicz-t-Norm zu betrachten, um die Unschärfe
bzw. die damit verbundene Ununterscheidbarkeit in Fuzzy-Systemen zu kennzeich-
nen.
17.1 Fuzzy-Mengen und extensionale Hüllen
Geht man davon, dass eine Ähnlichkeitsrelation eine gewisse Ununterscheidbarkeit
charakterisiert, so sollte man erwarten, dass sich kaum unterscheidbare Elemente
auch ähnlich verhalten bzw. ähnliche Eigenschaften besitzen. Für Fuzzy-Systeme ist
die (unscharfe) Eigenschaft, Element einer (Fuzzy-)Menge zu sein, wesentlich. Daher
spielen die Fuzzy-Mengen eine wichtige Rolle, die eine gegebene Ähnlichkeitsrelati-
on in dem Sinne respektieren, dass ähnliche Elemente auch ähnliche Zugehörigkeits-
grade besitzen. Diese Eigenschaft wird als Extensionalität bezeichnet und formal fol-
gendermaßen definiert:
Definition 17.2
Es sei E
:
X
X
[
0, 1
]
eine Ähnlichkeitsrelation bezüglich der t-Norm
taufderGrundmengeX.EineFuzzy-Menge
µ
F(
X
)
heißt
extensional
bezüglich E,
wenn für alle x
,
y
X
t
µ
(
x
)
,
E
(
x
,
y
)
µ
(
y
)
gilt.
Die Extensionalitätsbedingung lässt sich im Sinne der Fuzzy-Logik so interpre-
tieren, dass der Wahrheitswert der Aussage
