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gv
kv
kg
gg
g
0.0
0.4
1.0
0.0
m
0.3
1.0
1.0
0.4
h
1.0
1.0
1.0
1.0
:„BeidemRisiko
y
ist der Gewinnn/Verlust
z
Tabe l l e 16 . 4 : Di e Fuzzy-Re l a t i on
möglich“
gv
kv
kg
gg
a
1.0
1.0
1.0
1.0
f
0.3
0.9
0.9
0.4
i
0.3
0.5
0.8
0.4
:„BeidemRenditeobjekt
x
ist der Ge-
Tabe l l e 16 . 5 : Di e Fuzzy-Re l a t i on
winnn/Verlust
z
möglich“
(
x
,
z
)
falls
y
=
y
undefiniert sonst
anwendet, die der Hintereinanderschaltung gewöhnlicher Relationen zugrunde
liegt, da
(
x
,
y
)
,
(
y
,
z
)
f
[
R
1
,
R
2
]=
f
[
R
1
R
2
]=
R
2
R
1
gilt.
Sind
1
und
2
die charakteristischen Funktionen der gewöhnlichen Relationen
R
1
bzw.
R
2
,soist
2
1
die charakteristische Funktion der Relation
R
2
R
1
. In diesem
Sinne verallgemeinert die Definition 16.3 die Hintereinanderschaltung von Relatio-
nen für Fuzzy-Relationen.
Für jede Fuzzy-Menge
µ
F(
X
)
gilt
[
µ
]=
2
1
[
µ
]
2
1
.
Beispiel 16.14
Wir erweitern die in Beispiel 16.11 diskutierte Risikoeinschätzung ei-
nes Fonds um die Menge
Z
= {
gv
,
kv
,
kg
,
gg
}.DieElementestehenfür„großer
Ve r l us t “ , „ k l e i ne r Ve r l us t “ , „ k l e i ne r Gewi nn“ bzw. „ g r oße r Gewi nn“ . Di e Fuz z y -
Relation
F(
Y
Z
) in Tabelle 16.4 gibt für jedes Tupel (
y
,
z
)
Y
Z
an, in-
wieweit bei dem Risiko
y
der Gewinn bzw. Verlust
z
für möglich gehalten wird. Das
Ergebnis der Hintereinanderschaltung der Fuzzy-Relationen
und
zeigt Tabelle
16.5.
In diesem Fall, in dem die Grundmengen endlich sind und sich die Fuzzy-Rela-
tionen als Tabellen oder Matrizen darstellen lassen, entspricht die Berechnungsvor-
schrift für die Hintereinanderschaltung von Fuzzy-Relationen einer Matrixmultipli-
kation, bei der anstelle der komponentenweisen Multiplikation das Minimum gebil-
det und die Addition durch das Maximum ersetzt wird. Für den Fond aus Beispiel
16.11, der durch die Fuzzy-Menge
µ
µ
(
a
)=
0.8,
µ
(
f
)=
0,
µ
(
i
)=
0.2.
