Information Technology Reference
In-Depth Information
Grundmenge und die Konklusions(-Fuzzy-)Menge als Ergebnisse in Betracht kom-
men, sondern auch Fuzzy-Mengen dazwischen. Die Tatsache, dass alle Werte
y
einen
Zugehörigkeitsgrad von mindestens 0.5 zur Fuzzy-Menge
[
µ
]
besitzen, ist dadurch
begründet, dass ein Wert, nämlich
x
0
= 2.0, existiert, der einen Zugehörigkeitsgrad
von 0.5 zur Fuzzy-Menge
µ
und einen Zugehörigkeitsgrad von 0 zu
µ
hat. Das be-
deutet, dass die Variable
x
zum Grad 0.5 einen Wert annehmen kann, bei dem sich
aufgrund der Implikation nichts über
y
aussagen lässt, d. h., dass
y
jeden beliebi-
gen Wert aus der Grundmenge annehmen kann. Der Zugehörigkeitsgrad 1 des Wer-
tes
x
0
= 2.5 zur Fuzzy-Menge
µ
hat zur Folge, dass alle Werte aus dem Intervall
[2.5, 3.5] einen Zugehörigkeitsgrad von 1 zu
[
µ
] besitzen. Denn für
x
0
= 2.5 ergibt
sich
µ
(2.5)=0.75, d. h., die Prämisse der Implikation ist zum Grad 0.75 erfüllt, so
dass es für die Gültigkeit der Implikation ausreicht, wenn die Konklusion ebenfalls
zum Grad von mindestens 0.75 erfüllt ist. Dies gilt genau für die Werte aus dem
Intervall [2.5, 3.5].
Für die Zugehörigkeitsgrade zwischen 0 und 1 zur Fuzzy-Menge
[
µ
]
lassen sich
analoge Überlegungen anstellen.
16.5 Verkettung von Fuzzy-Relationen
Zum Ende dieses Abschnitts wenden wir uns der Verkettung oder Hintereinander-
schaltung von Fuzzy-Relationen zu. Ähnlich wie wir bei der Definition des Bildes
einer Fuzzy-Menge unter einer Fuzzy-Relation die Formel (16.1) für gewöhnliche
Mengen zugrundegelegt haben, greifen wir für die Hintereinanderschaltung von
Fuzzy-Relationen auf die Gleichung (16.4) zurück.
Definition 16.3
Es seien
1
F(
X
Y
)
und
2
F(
Y
Z
)
Fuzzy-Relationen. Dann
ergibt die
Hintereinanderschaltung
der beiden Fuzzy-Relationen die Fuzzy-Relation
2
1
(
x
,
z
)=sup
min{
1
(
x
,
y
),
2
(
y
,
z
)}|
y
Y
(16.7)
zwischen den Grundmengen X und Z.
Diese Definition erhält man aus der Äquivalenz
(
x
,
z
)
R
2
R
1
(
y
Y
)
(
x
,
y
)
R
1
(
y
,
z
)
R
2
,
indemman der Konjunktion das Minimum als Wahrheitswertfunktion zuordnet und
den Existenzquantor durch das Supremum auswertet, so dass sich
(
x
,
z
)=[[ (
x
,
y
) (
2
1
)]]
2
1
=
[[ (
y
Y
)
(
x
,
y
)
R
1
(
y
,
z
)
R
2
]]
=
min{
1
(
x
,
y
),
2
(
y
,
z
)}|
y
Y
sup
ergibt.
Die Formel (16.7) erhält man auch, wenn man das Extensionsprinzip auf die par-
tielle Abbildung
f
:
(
X
Y
) (
Y
Z
) (
X
Y
)
,
