Fuzzy-Relationen - Computational Intelligence - page 283

Es ist offensichtlich, dass für eine Menge M X und eine Relation R X Y

f [ M , R ]= f [ M R ]= R [ M ]

gilt.
Bei der Einführung des Extensionsprinzips haben wir an keiner Stelle gefordert,
dass die auf Fuzzy-Mengen zu erweiternde Abbildung f überall definiert sein muss.
Das Extensionsprinzip lässt sich daher auch auf partielle Abbildungen anwenden.
Das Extensionsprinzip für die Abbildung (16.6), die der Berechnung eines Bildes
einer Menge unter einer Relation zugrundeliegt, liefert die in der Definition 16.2
angegebene Formel für das Bild einer Fuzzy-Menge unter einer Fuzzy-Relation.
Eine weitere Rechtfertigung der Definition 16.2 ergibt sich aus der in Beispiel 16.4
und Abbildung 16.2 beschriebenen Berechnungsweise des Bildes einer Menge unter
einer Relation als Projektion des Durchschnitts der zylindrischen Erweiterung der
Menge mit der Relation (vergleiche Gleichung (16.2)). Setzt man in die Gleichung
(16.2) statt der Menge M eine Fuzzy-Menge µ und für die Relation R eine Fuzzy-
Relation ein, ergibt sich wiederum die Formel (16.5), wenn der Durchschnitt von
Fuzzy-Mengen durch das Minimum bestimmt wird und die Projektion und die zy-
lindrische Erweiterung für Fuzzy-Mengen wie im Abschnitt 15 berechnet werden.

Beispiel 16.11 Mit Hilfe der Fuzzy-Relation aus dem Beispiel 16.9 soll eine Einschät-
zung des Risikos eines Fonds vorgenommen werden, der sich vorwiegend auf Ak-
tien konzentriert, sich aber auch zu einem geringeren Teil im Immobilienbereich en-
gagiert. Wir repräsentieren diesen Fond über der Grundmenge { a , i , f } der Rendite-
objekte als Fuzzy-Menge µ mit

µ ( a )=0.8, µ ( f )=0, µ ( i )=0.2.

Umdas Risiko dieses Fonds zu bestimmen, berechnenwir das Bild der Fuzzy-Menge
µ unter der Fuzzy-Relation aus Tabelle 16.3. Es ergibt sich

[ µ ]( g )= 0.2, [ µ ]( m )= 0.3, [ µ ]( h )= 0.8.

Ähnlich wie im Beispiel 16.3 lässt sich die Fuzzy-Menge [ µ ] mit Hilfe eines mo-
difizierten Falk-Schemas angeben. Dazu müssen anstelle der Nullen und Einsen in
der Tabelle 16.2 die entsprechenden Zugehörigkeitsgrade eingetragen werden. Un-
ter der jeweiligen Spalte ergibt sich der Zugehörigkeitsgrad des korrespondierenden
Elementes zur Fuzzy-Menge [ µ ],indemmanfürjedenEintragderSpaltedasMi-
nimum mit dem dazugehörigen Wert des µ repräsentierenden Vektors bildet und
das Maximum dieser Minima errechnet. In diesem Sinne gleicht die Berechnung des
Bildes einer Fuzzy-Menge µ unter einer Fuzzy-Relation der Matrixmultiplikation
einer Matrix mit einem Vektor, bei der die Multiplikation der Komponenten durch
das Minimum und die Addition durch das Maximum ersetzt wird.

Beispiel 16.12 Wir nehmen an, dass das Messgerät aus Beispiel 16.10 einen Wert von
„ungefähr 0.3“ angezeigt hat, was wir mit der Fuzzy-Menge µ = 0.2,0.3,0.4 modellie-
ren. Für den wahren Wert y ergibt sich die Fuzzy-Menge

[ µ ]( y )= 1 min { 5 | y 0.3 | ,1 }

als Bild der Fuzzy-Menge µ unter der Relation aus Beispiel 16.10.