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1.0
0.5
22.533.54
Abbildung 16.4: Die Fuzzy-Menge
[
µ
]
Beispiel 16.13
Das Beispiel 16.5 hat gezeigt, dass sich logische Inferenz auf der Basis
einer Implikation der Form
x
A
y
B
mit einer Relation darstellen lässt. Wir
verallgemeinern dieses Verfahren für den Fall, dass
A
und
B
durch Fuzzy-Mengen
µ
bzw.
ersetzt werden. Dazu definierenwir in Anlehnung an die Gleichung (16.3) mit
der Formel [[
(
x
,
y
)
]]
=
[[
x
µ
y
]] , i n d e r w i r a l s Wa h r h e i t s w e r t f u n k t i o n
für die Implikation die Gödel-Implikation wählen, die Fuzzy-Relation
1
falls
µ
(
x
)
(
y
)
(
x
,
y
)=
(
y
)
sonst.
Die Regel „Wenn
x
ungefähr 2 ist, dann ist
y
ungefähr 3“ führt dann zur Fuzzy-
Relation
1
falls min
{|
3
y
|
,1
}|
2
x
|
(
x
,
y
)=
1
min
{|
3
y
|
,1
}
sonst,
wenn man „ungefähr 2“ durch die Fuzzy-Menge
µ
=
1,2,3
und „ungefähr 3“ durch
die Fuzzy-Menge
=
2,3,4
modelliert. Aus der Kenntnis von „
x
ist ungefähr 2.5“,
repräsentiert durch die Fuzzy-Menge
µ
=
1.5,2.5,3.5
,erhaltenwirfür
y
die Fuzzy-
Menge
y
1.5
falls 2.0
y
2.5
1
falls 2.5
y
3.5
[
µ
](
y
)=
4.5
y
falls 3.5
y
4.0
0.5
sonst,
die in Abbildung 16.4 zu sehen ist.
Der Zugehörigkeitsgrad eines Elementes
y
0
zu dieser Fuzzy-Menge sollte in dem
Sinne interpretiert werden, dass er angibt, inwieweit es noch für möglich gehalten
wird, dass die Variable
y
den Wert
y
0
annimmt. Diese Sichtweise ist die Verallge-
meinerung dessen, was sich bei der auf gewöhnlichen Mengen basierenden Impli-
kation im Beispiel 16.5 ergab. Dort waren als Ergebnis nur zwei Mengen möglich:
die gesamte Grundmenge, wenn die Prämisse der Implikation nicht unbedingt er-
füllt war, bzw. die in der Konklusion der Implikation angegebene Menge für den
Fall, dass die Prämisse galt. Der erste Fall besagt, dass aufgrund der Regel noch al-
le Werte für
y
denkbar sind, während im zweiten Fall ausschließlich Werte aus der
Konklusionsmenge in Frage kommen. Durch die Verwendung von Fuzzy-Mengen
anstelle der gewöhnlichen Mengen kann sowohl die Prämisse als auch die Konklu-
sion der Implikation partiell erfüllt sein. Dies hat zur Folge, dass nicht mehr nur die
