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g
m
h
a
0.0
0.3
1.0
f
0.6
0.9
0.1
i
0.8
0.5
0.2
Tabe l l e 16 . 3 : Di e Fuzzy-Re l a t i on
:„
x
ist Renditeobjekt mit Risikofaktor
y
“
scharfen Relation
R
aus Beispiel 16.2 zur Repräsentation dieses Sachverhalts bietet
sich daher eine Fuzzy-Relation an, z. B.
[0, 1],
(
x
,
y
) 1 min{10|
x
y
|,1},
:
R
R
die den Zugehörigkeitsgrad 1 für
x
=
y
ergibt und eine in |
x
y
| lineare Abnahme
des Zugehörigkeitsgrades zur Folge hat, bis die Differenz zwischen
x
und
y
denWert
0.1 überschreitet.
Ummit Fuzzy-Relationen ähnlich wie mit gewöhnlichen Relationen operieren zu
können, müssen wir die in Gleichung (16.1) angegebene Formel zur Bestimmung des
Bildes einer Menge unter einer Relation auf Fuzzy-Mengen und Fuzzy-Relationen
erweitern.
Definition 16.2
Für eine Fuzzy-Relation
F(
X
Y
)
und eine Fuzzy-Menge
µ
F(
X
)
ist das Bild von
µ
unter die Fuzzy-Menge
[
µ
](
y
)=
sup
min
{
(
x
,
y
)
,
µ
(
x
)}|
x
X
(16.5)
über der Grundmenge Y.
Diese Definition lässt sich auf mehrere Arten rechtfertigen. Sind
und
µ
die cha-
rakteristischen Funktionen einer gewöhnlichen Relation
R
bzw. Menge
M
,soist
[
µ
]
die charakteristische Funktion des Bildes
R
[
M
] von
M
unter
R
.DieDefinitionistso-
mit eine Verallgemeinerung der Formel (16.1) für scharfe Mengen.
Die Formel (16.1) ist äquivalent zu der Aussage
(
x
,
y
)
R
x
M
y
R
[
M
] (
x
X
)
.
Man erhält die Formel (16.5) für Fuzzy-Relationen aus dieser Äquivalenz, indem
man der Konjunktion das Minimum als Wahrheitswertfunktion zuordnet und den
Existenzquantor als Supremum auswertet, d. h.
[
µ
](
y
)=
[[
y
[
µ
]
]]
(
x
,
y
)
x
µ
=
[[
(
x
X
)
]]
=
sup
min
{
(
x
,
y
)
,
µ
(
x
)}|
x
X
.
Die Definition 16.2 lässt sich auch aus dem Extensionsprinzip herleiten. Wir be-
trachten dazu die partielle Abbildung
falls
x
=
x
y
x
, (
x
,
y
)
f
:
X
(
X
Y
)
Y
,
(16.6)
undefiniert
sonst.
