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||
x
y
|
0.2
}
.DieHintereinanderschaltungvon
R
und
R
ergibt die Relation
R
R
= {(
x
,
z
)
R
= {(
y
,
z
)
R
R
||
x
z
|
0.3
}
.WenndasMessgerät
den Wert
x
0
anzeigt, können wir folgern, dass der Wert der Größe
z
in der Menge
R
R
(
R
R
)[{
x
0
}]=[
x
0
0.3,
x
0
+
0.3
]
liegt.
Beispiel 16.8
Das Beispiel 16.5 demonstrierte, wie sich eine Implikation der Form
x
A
y
B
durch eine Relation darstellen lässt. Ist eine weitere Regel
y
C
z
D
bekannt, so lässt sich im Falle
B
C
die Regel
x
A
z
D
ablei-
ten. Andernfalls lässt sich bei der Kenntnis von
x
nichts über
z
aussagen, d. h., wir
erhalten die Regel
x
X
z
Z
. Die Hintereinanerschaltung der die Implikatio-
nen
x
A
y
B
und
y
C
z
D
repräsentierenden Relationen
R
und
R
ergibt entsprechend die Relation, die mit der Implikation
x
A
z
D
bzw.
x
A
z
Z
assoziiert wird:
(
A
D
) (
A
Z
)
falls
B
C
(
A
Z
) (
A
Z
)=
X
Z
sonst.
R
R
=
16.4 Einfache Fuzzy-Relationen
Nachdemwir einen kurzen Überblick über grundlegende Begriffe und Konzepte für
gewöhnliche Relationen gegeben haben, wenden wir uns nun den Fuzzy-Relationen
zu.
Definition 16.1
Eine Fuzzy-Menge
F(
X
Y
)
heißt (zweistellige)
Fuzzy-Relation
zwischen den Grundmengen X und Y.
Eine Fuzzy-Relation ist demnach eine verallgemeinerte gewöhnliche Relation,
bei der zwei Elemente graduell in Relation stehen können. Je größer der Zugehö-
rigkeitsgrad
(
x
,
y
)
ist, desto stärker stehen
x
und
y
in Relation.
Beispiel 16.9
X
= {
a
,
f
,
i
}
bezeichne die Menge der Renditeobjekte Aktien (
a
), fest-
verzinsliche Wertpapiere (
f
) und Immobilien (
i
). Die Menge
Y
= {
g
,
m
,
h
} enthält
die Elemente geringes (
g
), mittleres (
m
)undhohes(
h
) Risiko. Die in Tabelle 16.3
angegebene Fuzzy-Relation
F(
X
Y
) gibt für jedes Paar (
x
,
y
)
X
Y
an,
inwieweit
x
als Renditeobjekt mit dem Risikofaktor
y
angesehen werden kann.
Beispielsweise bedeutet der Tabelleneintrag in der Spalte
m
und der Zeile
i
,dass
Immobilien zum Grad 0.5 als Renditeobjekt mit mittlerem Risiko angesehen werden
können, d. h., es gilt
(
i
,
m
)=0.5.
Beispiel 16.10
Für das Messgerät aus Beispiel 16.2 wurde eine Genauigkeit von 0.1
angegeben. Es ist jedoch nicht sehr realistisch anzunehmen, dass bei einem angezeig-
ten Wert
x
0
jeder Wert aus dem Intervall
[
x
0
0.1,
x
0
+
0.1
]
als gleich glaubwürdig
als wahrer Wert der gemessenen Größe angesehen werden kann. Als Alternative zur
