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16.3
Inferenzketten
Das obige Beispiel zeigt, wie sich eine logische Inferenz mit einer Relation darstellen
lässt. Beim Schlussfolgern treten üblicherweise Inferenzketten der Form
1
2
,
2
3
auf, aus der wir
1
3
ableiten können. Ein ähnliches Prinzip kann
auch für Relationen angegeben werden. Es seien die Relationen
R
1
X
Y
und
R
2
Y
Z
gegeben. Ein Element
x
steht indirekt in Relation zu einem Element
z
Z
,wenneseinElement
y
Y
gibt, so dass
x
und
y
in der Relation
R
1
und
y
und
z
in der Relation
R
2
stehen. Man „gelangt von
x
nach
z
über
y
“. Auf diese Weise lässt
sich die Hintereinanderschaltung der Relationen
R
1
und
R
2
als Relation
R
2
R
1
= {(
x
,
z
)
X
Z
| (
y
Y
)
(
x
,
y
)
R
1
(
y
,
z
)
R
2
}
(16.4)
zwischen
X
und
Z
definieren. Es gilt dann für alle
M
X
R
2
R
1
[
M
]
=(
R
2
R
1
)[
M
]
.
Für die Relationen graph
(
f
)
und graph
(
g
)
,dievondenAbbildungen
f
:
X
Y
bzw.
g
:
Y
Z
induziert werden, folgt, dass die Hintereinanderschaltung der Rela-
tion mit der von der Hintereinanderschaltung der Abbildungen
f
und
g
induzierten
Relation übereinstimmt:
graph
(
g
f
)=
graph
(
g
)
graph
(
f
)
.
Beispiel 16.6
Wir erweitern das Beispiel 16.1 der Schlüssel und Türen, indem wir ei-
ne Menge
P
= {
p
1
,
p
2
,
p
3
} von drei Personen betrachten, die im Besitz verschiedener
Schlüssel sind, was wir durch die Relation
= {(
p
1
,
s
1
), (
p
1
,
s
2
), (
p
2
,
s
3
), (
p
2
,
s
4
), (
p
3
,
s
5
)}
P
T
ausdrücken. Dabei ist
(
p
i
,
s
j
)
R
gleichbedeutend damit, dass Person
p
i
der Schlüs-
sel
s
j
zur Verfügung steht. Die Hinteranderschaltung
R
= { (
p
1
,
t
1
), (
p
1
,
t
2
), (
p
2
,
t
3
), (
p
2
,
t
4
), (
p
2
,
t
5
),
(
p
3
,
t
1
), (
p
3
,
t
2
), (
p
3
,
t
3
), (
p
3
,
t
4
), (
p
3
,
t
5
), (
p
3
,
t
6
) }
der Relationen
R
und
R
enthält das Paar
(
p
,
t
)
P
T
genau dann, wenn Person
p
die Tür
t
öffnen kann. Mit der Relation
R
R
lässt sich beispielsweise bestimmen,
welche Türen geöffnet werden können, wenn die Personen
p
1
und
p
2
anwesend sind.
Die gesuchte Menge der Türen ist
R
R
(
R
R
)[{
p
1
,
p
2
}]={
t
1
,...,
t
5
} =
R
[{
p
1
,
p
2
}]
R
.
Beispiel 16.7
Im Beispiel 16.2 gab der von einem Messgerät angezeigte Wert
x
den
wahren Wert
y
bis auf eine Genauigkeit von 0.1 an, was durch die Relation
R
=
{(
x
,
y
)
||
x
y
|
0.1
}
wiedergegeben wurde. Lässt sich die Größe
z
aus
der Größe
y
mit einer Genauigkeit von 0.2 bestimmen, entspricht dies der Relation
R
R
