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Kapitel 15
Das Extensionsprinzip
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir die Erweiterung der mengentheoretischen
Operationen Durchschnitt, Vereinigung und Komplement auf Fuzzy-Mengen ken-
nengelernt. Wir wenden uns jetzt der Frage zu, wie man gewöhnliche Abbildungen
für Fuzzy-Mengen verallgemeinern kann. Die Antwort ermöglicht es, Operationen
wie das Quadrieren, die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, aber
auch mengentheoretische Begriffe wie die Hintereinanderschaltung von Relationen
für Fuzzy-Mengen zu definieren.
15.1 Abbildungen von Fuzzy-Mengen
R
,
x
|
x
|.DieinAbbildung15.1
dargestellte Fuzzy-Menge
µ
=
1.5,
0.5,2.5
steht für das vage Konzept „ca. 0.5“.
Durch welche Fuzzy-Menge sollte „der Betrag von ca.
0.5“ repräsentiert wer-
den, d. h., was ist das Bild
f
[
µ
]
der Fuzzy-Menge
µ
?FüreinegewöhnlicheTeilmenge
M
einer Grundmenge
X
ist das Bild
f
[
M
]
unter der Abbildung
f
:
X
Y
definiert
als die Teilmenge von
Y
,derenElementeUrbilderin
M
besitzen. Formal heißt das
Wir betrachten als Beispiel die Abbildung
f
:
R
f
[
M
]={
y
Y
| (
x
X
)(
x
M
f
(
x
)=
y
)},
1
0.5 0
1.5
2.5
Abbildung 15.1: Die Fuzzy-Menge
µ
=
1.5,0.5,1.5
,diefür„ca.
0.5“ steht
