Information Technology Reference
In-Depth Information
oder anders ausgedrückt
y
f
[
M
]
(
x
X
)(
x
M
f
(
x
)=
y
).
(15.1)
Beispielsweise ergibt sich für
M
=[1, 0.5]
R
und die Abbildung
f
(
x
)=|
x
|
die Menge
f
[
M
]=[0, 1] als Bild von
M
unter
f
.
Die Beziehung (15.1) ermöglicht uns, das Bild einer Fuzzy-Menge
µ
unter einer
Abbildung
f
zu definieren. Wie im vorhergehenden Abschnitt bei der Erweiterung
mengentheoretischer Operationen auf Fuzzy-Mengen greifen wir hier auf die im Ab-
schnitt 14.4 vorgestellten Konzepte der Fuzzy-Logik zurück. Für Fuzzy-Mengen be-
deutet (15.1)
[[
y
f
[
µ
]
]]
=
[[
(
x
X
)(
x
µ
f
(
x
)=
y
)
]] .
Dabei ist der Existenzquantor wie in Abschnitt 14.4 erläutert mit Hilfe des Supre-
mums auszuwerten und der Konjunktion eine t-Norm
t
zuzuordnen, so dass sich
die Fuzzy-Menge
f
[
µ
](
y
)=
sup
{
t
(
µ
(
x
)
,[
f
(
x
)=
y
)
]]
) |
x
X
}
(15.2)
als Bild von
µ
unter
f
ergibt. Die Wahl der t-Norm
t
spielt in diesem Fall keine Rolle,
da die Aussage
f
(
x
)=
y
entweder wahr oder falsch ist, d. h. [[
f
(
x
)=
y
]]
{
0, 1
}
,so
dass
µ
(
x
)
falls
f
(
x
)=
y
t
(
µ
(
x
)
,[
f
(
x
)=
y
)
]]
) =
0
sonst
folgt. Damit vereinfacht sich (15.2) zu
f
[
µ
](
y
)=sup {
µ
(
x
) |
f
(
x
)=
y
} .
(15.3)
Diese Definition besagt, dass der Zugehörigkeitsgrad eines Elementes
y
Y
zum
Bild der Fuzzy-Menge
µ
F(
X
)
unter der Abbildung
f
:
X
Y
der größtmög-
liche Zugehörigkeitsgrad aller Urbilder von
y
zu
µ
ist. Man bezeichnet diese Art
der Erweiterung einer Abbildung auf Fuzzy-Mengen als
Extensionsprinzip
(für eine
Funktion mit einem Argument).
Für das Beispiel der Fuzzy-Menge
µ
=
1.5,
0.5,2.5
die für das vage Konzept
„ca. 0.5“ steht, ergibt sich als Bild unter der Abbildung
f
(
x
)=|
x
| die in Abbildung
15.2 dargestellte Fuzzy-Menge. Wir bestimmen im folgenden exemplarisch den Zu-
gehörigkeitsgrad
f
[
µ
](
y
) für
y
{0.5, 0, 0.5, 1}.Dawegen
f
(
x
)=|
x
|0derWert
y
= 0.5 kein Urbild unter
f
besitzt, erhalten wir
f
[
µ
](0.5)=0.
y
= 0hatals
einziges Urbild
x
=
0, so dass
f
[
µ
](
0
)=
µ
(
0
)=
5/6 folgt. Für
y
=
0.5 existieren die
beiden Urbilder
x
=
0.5 und
x
=
0.5, so dass sich
f
[
µ
](0.5)=max{
µ
(0.5),
µ
(0.5)} = max{1, 2/3} = 1
ergibt. Die beiden Urbilder von
y
=
1sind
x
=
1und
x
=
1. Somit erhalten wir
f
[
µ
](1)=max{
µ
(1),
µ
(1)} = max{0.5, 0.5} = 0.5.
