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140 150 160 170 180 190 200
Abbildung 14.12: Die Fuzzy-Menge
µ
170
190
der Geschwindigkeiten, die nicht we-
sentlich kleiner als170 km/h und nicht viel größer als 190 km/h sind
schreiben, wobei der Konjunktion als Wahrheitswertfunktion die t-Norm
t
zugeord-
net wird.
Durch die Definition des Durchschnitts von Fuzzy-Mengen mit Hilfe einer t-
Norm übertragen sich die Eigenschaften der t-Norm auf den Durchschnittsoperator:
die Axiome (T1) und (T2) sorgen dafür, dass die Durchschnittsbildung für Fuzzy-
Mengen kommutativ and assoziativ ist. Die Monotonieeigenschaft (T3) garantiert,
dass durch Austauschen einer Fuzzy-Menge
µ
1
durch eine Fuzzy-Obermenge
µ
2
,
d. h.,
µ
1
(
x
)
µ
2
(
x
)
für alle
x
,beiderDurchschnittsbildungmiteinerFuzzy-Menge
µ
sich der Durchschnitt nicht verkleinern kann:
Aus
µ
1
µ
2
folgt
µ
t
µ
1
µ
t
µ
2
.
Aus der Forderung (T4) für t-Normen schlussfolgern wir, dass der Durchschnitt ei-
ner Fuzzy-Menge mit einer scharfen Menge bzw. der charakteristischen Funktion
der scharfen Menge wieder die ursprüngliche Fuzzy-Menge eingeschränkt auf die
Menge, mit der geschnitten wird, ergibt. Ist
M
X
eine gewöhnliche Teilmenge von
X
und
µ
F(
X
) eine Fuzzy-Menge von
X
,sofolgt
µ
(
x
)
falls
x
M
(
µ
t
I
M
) (
x
)=
0
sonst.
Üblicherweise wird bei der Durchschnittsbildung von Fuzzy-Mengen das Mi-
nimum als t-Norm zugrundegelegt, sofern nicht explizit darauf hingewiesen wird,
dass eine andere t-Norm verwendet wird. Wir schreiben daher
µ
1
µ
2
statt
µ
1
t
µ
2
im Fall
t
=
min.
Wir betrachten den Durchschnitt der Fuzzy-Menge
µ
hG
der hohen Geschwin-
digkeiten aus Abbildung 14.2 auf Seite 255 mit der in Abbildung 14.12 dargestell-
ten Fuzzy-Menge
µ
170190
der Geschwindigkeiten, die nicht wesentlich kleiner als
170 km/h und nicht viel größer als 190 km/h sind. Beide Fuzzy-Mengen sind Tra-
pezfunktionen:
µ
hG
=
150,180,,
,
µ
170
190
=
160,170,190,200
.
Abbildung 14.13 zeigt den Durchschnitt der beiden Fuzzy-Mengen auf der Ba-
sis des Minimums (durchgezogene Linie) und der
ukasiewicz-t-Norm (gestrichelte
Linie).
