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140 150 160 170 180 190 200
Abbildung 14.13: Der Durchschnitt
µ
hG
t
µ
170
190
der Fuzzy-Mengen
µ
hG
und
µ
170
190
,berechnetmitdemMinimum(durchgezogeneLinie)undder
ukasiewicz-
t-Norm (gestrichelte Linie)
14.5.2 Vereinigung
Ganz analog wie wir aus der Repräsentation (14.5) die Definition des Durchschnitts
zweier Fuzzy-Menge abgeleitet haben, lässt sich auf der Basis von
x
M
1
M
2
x
M
1
x
M
2
.
die Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen festlegen. Es ergibt sich
(
µ
1
s
µ
2
)(
x
)=
s
(
µ
1
(
x
)
,
µ
2
(
x
))
,
als Vereinigung der beiden Fuzzy-Mengen
µ
1
und
µ
2
bezüglich der t-Conorm
s
.
In der Interpretation des Zugehörigkeitsgrades
µ
(
x
)
eines Elementes
x
zur Fuzzy-
Menge
µ
als Wahrheitswert [[
x
µ
]] d e r u n s c h a r f e n A u s s a g e „
x
µ
“, dass
x
ein
Element von
µ
ist, lässt sich die Definition für die Vereinigung auch in der Form
[[
x
(
µ
1
t
µ
2
)
]]
=
[[
x
µ
1
x
µ
2
]]
wiedergeben, wobei der Disjunktion als Wahrheitswertfunktion die t-Conorm
s
zu-
geordnet wird. Die am häufigsten verwendete t-Conorm als Grundlage für die Verei-
nigung von Fuzzy-Mengen ist das Maximum. Im Fall
t
= max verwenden wir daher
auch die Abkürzung
µ
1
µ
2
für
µ
1
s
µ
2
.
14.5.3 Komplement
Das Komplement einer Fuzzy-Menge wird aus der Formel
x
M
¬ (
x
M
)
für gewöhnliche Mengen abgeleitet, in der
M
für das Komplement der (gewöhnli-
chen) Menge
M
steht. Ordnen wir der Negation die Wahrheitswertfunktion
w
¬
(
)=
1
zu, erhalten wir als Komplement
µ
der Fuzzy-Menge
µ
die Fuzzy-Menge
µ
1
(
x
)=
1
µ
(
x
)
,
