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Wir werden in der weiteren Behandlung der Fuzzy-Systeme das Konzept der
Wahrhe i t s f unk t i ona l i t ä t n i cht we i t e r i n Fr age s t e l l en . Es so l l t e j edoch be t ont we rden ,
dass die Annahme der Wahrheitsfunktionalität sehr restriktiv ist und zu Inkonsisten-
zen führen kann, wenn sie nicht erfüllt ist.
14.5 Operationen auf Fuzzy-Mengen
In den Abschnitten 14.2 und 14.3 haben wir Fuzzy-Mengen zur Modellierung vager
Konzepte und Repräsentationsformen für Fuzzy-Mengen kennengelernt. Um mit
Hilfe vager Konzepte operieren oder schlussfolgern zu können, benötigen wir ge-
eignete Verknüpfungen für Fuzzy-Mengen. Wir werden daher in diesem Abschnitt
aus der gewöhnlichen Mengenlehre bekannte Operationen wie Vereinigung, Durch-
schnitt oder Komplementbildung auf Fuzzy-Mengen erweitern.
14.5.1 Durchschnitt
Die Vorgehensweise, wie die Mengenoperationen für Fuzzy-Mengen definiert wer-
den, erläutern wir ausführlich am Beispiel des Durchschnitts. Für zwei gewöhnliche
Mengen
M
1
und
M
2
gilt, dass ein Element
x
genau dann zum Durchschnitt der bei-
den Mengen gehört, wenn es sowohl zu
M
1
als auch zu
M
2
gehört. Ob
x
zumDurch-
schnitt gehört, hängt also allein von der Zugehörigkeit von
x
zu
M
1
und
M
2
ab, aber
nicht von der Zugehörigkeit eines anderen Elementes
y
=
x
zu
M
1
und
M
2
.Formal
ausgedrückt bedeutet dies
x
M
1
M
2
x
M
1
x
M
2
.
(14.5)
Für zwei Fuzzy-Mengen
µ
1
und
µ
2
gehen wir ebenfalls davon aus, dass der Zu-
gehörigkeitsgrad eines Elementes
x
zum Durchschnitt der beiden Fuzzy-Mengen
allein von den Zugehörigkeitsgraden von
x
zu
µ
1
und
µ
2
abhängt. Den Zugehörig-
keitsgrad
µ
(
x
)
eines Elementes
x
zur Fuzzy-Menge
µ
interpretieren wir als Wahr-
heitswert [[
x
µ
]] d e r u n s c h a r f e n A u s s a g e „
x
µ
“, dass
x
ein Element von
µ
ist. Um
den Zugehörigkeitsgrad eines Elementes
x
zum Durchschnitt der Fuzzy-Mengen
µ
1
und
µ
2
zu bestimmen, müssen wir daher in Anlehnung an die Äquivalenz (14.5) den
Wahrhe i t swe r t de r Kon j unk t i on „
x
ist Element von
µ
1
UND
x
ist Element von
µ
2
“be-
rechnen. Wie man den Wahrheitswert der Konjunktion zweier unscharfer Aussagen
definiert, haben wir im vorhergehenden Abschnitt über Fuzzy-Logik kennengelernt.
Dazu ist es notwendig, eine t-Norm
t
als Wahrheitswertfunktion für die Konjunktion
zu wählen. Wir definieren daher den Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen
µ
1
und
µ
2
(bezüglich der t-Norm
t
)alsdieFuzzy-Menge
µ
1
t
µ
2
mit
(
µ
1
t
µ
2
)(
x
)=
t
(
µ
1
(
x
)
,
µ
2
(
x
))
.
Interpretieren wir den Zugehörigkeitsgrad
µ
(
x
) eines Elementes
x
zur Fuzzy-Menge
µ
als Wahrheitswert [[
x
µ
]] d e r u n s c h a r f e n A u s s a g e „
x
µ
“, dass
x
ein Element
von
µ
ist, lässt sich die Definition für den Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen auch
in der Form
[[
x
(
µ
1
t
µ
2
)
]]
=
[[
x
µ
1
x
µ
2
]]
