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Die Wahl fällt auf das Haus
x
{
A
,
B
}
,fürdasdieAussage„DerPreisfürHaus
x
ist günstig
UND
die Lage von Haus
x
ist gut“ den größeren Wahrheitswert ergibt,
d. h., der Käufer entscheidet sich für Haus
A
,falls[
1
2
]]
>
[[
3
4
]] g i l t , i m u m -
gekehrten Fall für das Haus
B
.WirdderWahrheitswertderKonjunktionmitHilfe
des Minimums bestimmt, erhalten wir in beiden Fällen den Wert 0.6, so dass die bei-
den Häuser als gleichwertig anzusehen wären. Dies widerspricht aber der Tatsache,
dass zwar die Lage der beiden Häuser gleich bewertet wurde, Haus
A
jedoch für
einen günstigeren Preis zu erwerben ist. Wählt man als Wahrheitswertfunktion für
die Konjunktion eine nicht-idempotente t-Normwie beispielsweise das algebraische
Produkt oder die
ukasiewicz t-Norm, so wird in jedem Fall das Haus
A
vorgezo-
gen.
Neben den hier erwähnten Beispielen für t-Normen gibt es zahlreiche weitere.
Insbesondere lassen sich mit Hilfe eines frei wählbaren Parameters ganze Familien
von t-Normen definieren, etwa die Weber-Familie
+
1
+
1 +
t
(
,
)=
max
,0
die für jedes
(1, ) eine t-Norm festlegt. Für
= 0ergibtsichdie
ukasiewicz-
t-Norm.
Da in praktischen Anwendungen neben dem Minimum vorwiegend noch das
algebraische Produkt und die
ukasiewicz-t-Norm auftreten, verzichten wir
an dieser Stelle auf die Vorstellung weiterer Beispiele für t-Normen. Eine
ausführlichere Behandlung der
t-Normen findet man beispielsweise
in
Klement u. a. [2000], Kruse u. a. [1995].
Analog zu den t-Normen, die mögliche Wahrheitswertfunktionen für die Kon-
junktion repräsentieren, werden die Kandidaten für Wahrheitsfunktionen der Dis-
junktion definiert. Wie die t-Normen sollten sie die Eigenschaften (T1) - (T3) erfüllen.
Anstelle von (T4) fordert man allerdings
(T4')
t
(
,0
)=
,
d. h., dass sich durch disjunktives Hinzufügen einer falschen Aussage
zu einer
anderen Aussage
der Wahrheitswert nicht ändert, dass also der Wahrheitswert
von
mit dem von
übereinstimmt.
Definition 14.4
Eine Funktion s
: [0, 1]
2
[0, 1]
heißt
t-Conorm
(
trianguläreConorm
),
wenn sie die Axiome
(T1) - (T3)
und
(T4')
erfüllt.
Zwischen t-Normen und t-Conormen besteht ein dualer Zusammenhang: Jede
t-Norm
t
induziert eine t-Conorm
s
mittels
s
(
,
)=
1
t
(
1
,1
)
,
(14.2)
genau wie man umgekehrt aus einer t-Conorm
s
durch
t
(
,
)=
1
s
(
1
,1
)
,
(14.3)
die entsprechende t-Norm zurückerhält. Die Gleichungen (14.2) und (14.3) korre-
spondieren mit den DeMorganschen Gesetzen
[[
]]
=
[[
¬(¬
¬
)
]]
u n d
[[
]]
=
[[
¬(¬
¬
)
]] ,
