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wenn man die Negation durch die Wahrheitswertfunktion [[
¬
]]
=
1
[[
]] b e r e c h -
net.
Die t-Conormen, die man aufgrund der Formel (14.2) aus den t-Normen Mini-
mum,
ukasiewicz-t-Norm, algebraisches und drastisches Produkt erhält, sind
Maximum:
s
(
,
)=
max
{
,
}
s
(
,
)=min{
+
,1}
ukasiewicz-t-Conorm:
algebraische Summe:
s
(
,
)=
+
1
falls 0
{
,
}
drastische Summe:
s
(
,
)=
max
{
,
}
sonst.
Dual zu den t-Normen ist die drastische Summe die größte, das Maximum die klein-
ste t-Conorm. Außerdem ist das Maximum die einzige idempotente t-Conorm. Wie
bei den t-Normen lassen sich parametrische Familien von t-Conormen definieren.
+
s
(
,
)=
min
1 +
,1
bilden beispielsweise die Weber-Familie der t-Conormen.
Beim Rechnen mit t-Normen und t-Conormen sollte man sich bewusst sein, dass
nicht unbedingt alle Gesetze, die man für Konjunktion und Disjunktion kennt, auch
für t-Normen und t-Conormen gelten. So sind Minimum und Maximum nicht nur
die einzigen idempotenten t-Normen bzw. t-Conormen, sondern auch das einzige
über die Dualität (14.2) definierte Paar, das die Distributivgesetze erfüllt.
Wir hatten im Beispiel des Hauskaufs leicht gesehen, dass die Idempotenz einer
t-Norm nicht immer wünschenswert ist. Das gleiche gilt für t-Conormen. Betrach-
ten wir die Aussagen
1
,...,
n
,diekonjunktivoderdisjunktivverknüpftwerden
sollen. Der entscheidende Nachteil der Idempotenz ist, dass bei der Konjunktion mit-
tels des Minimums der sich ergebende Wahrheitswert der Verknüpfung der
Aussagen allein vom Wahrheitswert der Aussage abhängt, der der kleinste
Wahrhe i t swe r t zugeordne t i s t . Ent spre chend be s t immt be i de r Di s j unk t i on im
Sinne des Maximums nur die Aussage mit dem größten Wahrheitswert den
Wahrheitswert der verknüpften Aussage. Durch den Verzicht auf die Idempotenz
wird dieser Nachteil vermieden. Ein anderer Ansatz besteht in der Verwendung
kom-
pensatorischer Operatoren
,dieeinenKompromisszwischenKonjunktionundDisjunk-
tion darstellen. Ein Beispiel für einen kompensatorischen Operator ist der
Gamma-Operator
[Zimmermann u. Zysno 1980]
n
i
=1
i
1
n
i
=1
(
1
i
)
(
1
,...,
n
)=
·
.
Dabei ist
[
0, 1
]
ein frei wählbarer Parameter. Für
=
0ergibtderGamma-
Operator das algebraische Produkt, für
=
1diealgebraischeSumme.Einanderer
kompensatorischer Operator ist das arithmetische Mittel. Weitere Vorschläge für der-
artige Operatoren findet man z. B. in Mayer u. a. [1993]. Ein großer Nachteil dieser
Operatoren besteht in der Verletzung der Assoziativität. Wir werden diese Operato-
ren daher nicht weiter verwenden.
