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Schließlich verlangen wir noch, dass sich durch konjunktives Hinzufügen einer
wahren Aussage
zu einer anderen Aussage
der Wahrheitswert nicht ändert, dass
also der Wahrheitswert von
mit dem von
übereinstimmt. Für
t
ist diese
Forderung gleichbedeutend mit
(T4)
t
(
,1
)=
.
Definition 14.3
Eine Funktion t
:
[
0, 1
]
2
[
0, 1
]
heißt
t-Norm
(
trianguläreNorm
),
wenn sie die Axiome
(T1) - (T4)
erfüllt.
Als Wahrheitswertfunktion für die Konjunktion sollte im Rahmen der Fuzzy-
Logik immer eine t-Norm gewählt werden. Aus der Eigenschaft (T4) folgt, dass für
jede t-Norm
t
gilt:
t
(
1, 1
)=
1und
t
(
0, 1
)=
0. Aus
t
(
0, 1
)=
0erhaltenwirmitder
Kommutativität (T1)
t
(
1, 0
)=
0. Außerdem muss wegen der Monotonieeigenschaft
(T3) und
t
(
0, 1
)=
0auch
t
(
0, 0
)=
0 gelten. Somit stimmt jede t-Norm eingeschränkt
auf die Werte 0 und 1 mit der durch die Wahrheitswerttabelle der gewöhnlichen
Konjunktion gegebenen Wahrheitswertfunktion überein.
Man kann leicht überprüfen, dass die bereits erwähnte Wahrheitswertfunktion
t
(
,
)=min{
,
} für die Konjunktion eine t-Norm ist. Andere Beispiele für t-
Normen sind
ukasiewicz-t-Norm:
t
(
,
)=
max
{
+
1, 0
}
algebraisches Produkt:
t
(
,
)=
·
falls 1 {
,
}
0
t
(
,
)=
drastisches Produkt:
min{
,
}
sonst
Diese wenigen Beispiele zeigen schon, dass das Spektrum der t-Normen sehr
breit ist. Die Grenzen werden durch das drastische Produkt, das die kleinste t-Norm
darstellt und außerdem unstetig ist, und das Minimum, das die größte t-Norm ist,
vorgegeben. Das Minimum hebt sich noch durch eine weitere wichtige Eigenschaft
von den anderen t-Normen ab. Das Minimum ist die einzige idempotente t-Norm,
d. h., dass allein für das Minimum die Eigenschaft
t
(
,
)=
für alle
[
0, 1
]
erfüllt
ist.
Nur die Idempotenz einer t-Normen garantiert, dass dieWahrheitswerte der Aus-
sagen
und
übereinstimmen, was zunächst wie eine selbstverständliche For-
derung aussieht und somit das Minimum als einzige sinnvolle Wahrheitswertfunk-
tion für die Konjunktion auszeichnen würde. Dass die Idempotenz jedoch nicht im-
mer wünschenswert ist, zeigt das folgende Beispiel, bei dem sich ein Käufer für eines
von zwei Häuser
A
und
B
entscheiden muss. Da sich die Häuser in fast allen Punk-
ten stark ähneln, trifft er die Wahl aufgrund der beiden Kriterien günstiger Preis und
gute Lage. Nach reiflichen Überlegungen ordnet er die folgenden „Wahrheitswerte“
den den Kauf bestimmenden Aussagen zu:
Aussage
Wahrhe i t swe r t [[
i
]]
1
Der Preis für Haus
A
ist günstig.
0.9
2
Die Lage von Haus
A
ist gut.
0.6
3
Der Preis für Haus
B
ist günstig.
0.6
4
Die Lage von Haus
B
ist gut.
0.6
