Fuzzy-Mengen und Fuzzy-Logik - Computational Intelligence - page 247

oder bei welcher Fehlerquote eine entsprechende Note zu vergeben ist, wird ver-
sucht, eine Vergleichbarkeit der von verschiedenen Prüfern stammenden Noten zu
erreichen.
Das Einheitsintervall besitzt mit der kanonischen Metrik, die den Abstand zwei-
er Zahlen quantifiziert, und Operationen wie der Addition und der Multiplikation
wesentlich reichere Strukturen als die lineare Ordnung der Zahlen. In vielen Fällen
ist es daher günstiger, das Einheitsintervall als metrische Skala aufzufassen, umso ei-
ne konkretere Interpretation der Zugehörigkeitsgrade zu erhalten. Wir stellen diese
Fragen nach der Semantik von Zugehörigkeitsgraden und Fuzzy-Mengen bis zum
Abschnitt 17 zurück und beschränken uns zunächst auf eine naive Interpretation
von Zugehörigkeitsgraden in dem Sinne, dass die Eigenschaft, Element einer Menge
zu sein, graduell erfüllt sein kann.
Es sollte betont werden, dass Gradualität etwas völlig anderes als das Konzept
der Wahrscheinlichkeit ist. Es ist klar, dass eine Fuzzy-Menge µ nicht als Wahrschein-
lichkeitsverteilung bzw.-dichte aufgefasst werden darf, da µ i.a. der wahrscheinlich-
keitstheoretischen Bedingung

x X µ ( x )=1z .

µ ( x ) dx = 1

X

nicht genügt. Der Zugehörigkeitsgrad µ ( x ) eines Elementes x zur Fuzzy-Menge µ
sollte auch nicht als Wahrscheinlichkeit dafür interpretiert werden, dass x zu µ ge-
hört.
Um den Unterschied zwischen gradueller Erfülltheit und Wahrscheinlichkeit zu
veranschaulichen, betrachten wir folgendes Beispiel in Anlehnung an Bezdek [1993].
U bezeichne die „Menge“ der ungiftigen Flüssigkeiten. Ein Verdurstender erhält
zwei Flaschen A und B und die Information, dass die Flasche A mit Wahrschein-
lichkeit 0.9 zu U gehört, während B einen Zugehörigkeitsgrad von 0.9 zu U besitzt.
Aus welcher der beiden Flaschen sollte der Verdurstende trinken? Die Wahrschein-
lichkeit von 0.9 für A könnte etwa daher stammen, dass die Flasche einem Raum
mit zehn Flaschen, von denen neun mit Mineralwasser gefüllt sind und eine eine
Zyankalilösung enthält, zufällig entnommen wurde. Der Zugehörigkeitsgrad von
0.9 dagegen bedeutet, dass die Flüssigkeit „einigermaßen“ trinkbar ist. Beispielswei-
se könnte sich in B ein Fruchtsaft befinden, dessen Haltbarkeitsdatum gerade über-
schritten wurde. Es ist daher ratsam, die Flasche B zu wählen.
Die Flüssigkeit in der Flasche A besitzt die Eigenschaft ungiftig zu sein entweder
ganz (mit Wahrscheinlichkeit 0.9) oder gar nicht (mit Wahrscheinlichkeit 0.1). Dage-
gen erfüllt die Flüssigkeit in B die Eigenschaft ungiftig zu sein nur graduell.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie und Fuzzy-Mengen dienen demnach zur Model-
lierung völlig unterschiedlicher Phänomene — nämlich der Quantifizierung der Un-
sicherheit, ob ein Ereignis eintritt oder ob eine Eigenschaft erfüllt ist, bzw. der Anga-
be inwieweit eine Eigenschaft vorhanden ist.

14.3 Repräsentation von Fuzzy-Mengen

Nachdem wir im ersten Abschnitt Fuzzy-Mengen formal als Funktionen von einer
Grundmenge in das Einheitsintervall eingeführt haben, beschäftigen wir uns nun