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Vo r t e i l , da f ü r Be r e c hnungen imme r d i e Zugehö r i gke i t s f unk t i on — a l s o da s , wa s
wir hier unter einer Fuzzy-Menge verstehen — benötigt wird.
Neben der Notation einer Fuzzy-Menge als Abbildung in das Einheitsintervall
sind zum Teil auch andere Schreibweisen üblich, die wir in diesem Buch aber nicht
weiter verwenden werden. In manchen Veröffentlichungen wird eine Fuzzy-Menge
als Menge von Paaren der Elemente der Grundmenge und den entsprechenden Zu-
gehörigkeitsgraden in der Form {
|
x
X
} geschrieben in Anlehnung dar-
an, dass in der Mathematik eine Funktion üblicherweise als Menge von Urbild-Bild-
Paaren formal definiert wird. Eher irreführend ist die manchmal verwendete Nota-
tion einer Fuzzy-Menge als formale Summe
x
X
x
/
µ
(
x
)
bei höchstens abzählbarer
Grundmenge
X
bzw. als „Integral“
x
,
µ
(
x
)
x
X
x
/
µ
(
x
)
bei überabzählbarer Grundmenge
X
.
Es sollte betont werden, dass Fuzzy-Mengen innerhalb der „herkömmlichen“ Ma-
thematik formalisiert werden, genauso wie die Wahrscheinlichkeitstheorie im Rah-
men der „herkömmlichen“ Mathematik formuliert wird. In diesem Sinne eröffnen
Fuzzy-Mengen nicht eine „neue“ Mathematik, sondern lediglich einen neuen Zweig
der Mathematik.
Aus der Erkenntnis, dass sich bei der streng zweiwertigen Sicht vage Konzepte,
mit denen der Mensch sehr gut umgehen kann, nicht adäquat modellieren lassen, ha-
ben wir den Begriff der Fuzzy-Menge auf einer rein intuitiven Basis eingeführt. Wir
haben nicht näher spezifiziert, wie Zugehörigkeitsgrade zu interpretieren sind. Die
Bedeutungen von 1 als volle Zugehörigkeit und 0 als keine Zugehörigkeit sind zwar
offensichtlich. Wie ein Zugehörigkeitsgrad von 0.7 zu deuten ist oder warumman lie-
ber 0.7 anstatt 0.8 als Zugehörigkeitsgrad eines bestimmten Elementes wählen sollte,
haben wir offen gelassen. Diese Fragen der Semantik werden oft vernachlässigt, was
dazu führt, dass keine konsequente Interpretation der Fuzzy-Mengen durchgehalten
wird und so Inkonsistenzen entstehen können. Versteht man Fuzzy-Mengen als ver-
allgemeinerte charakteristische Funktionen, ist es zunächst einmal nicht zwingend,
das Einheitsintervall als kanonische Erweiterung der Menge
{
0, 1
}
anzusehen. Prin-
zipiell wäre auch eine andere linear geordnete Menge oder allgemeiner ein Verband
L
anstelle des Einheitsintervalls denkbar. Man spricht dann von
L
-Fuzzy-Mengen.
Diese spielen jedoch in den Anwendungen im allgemeinen fast keine Rolle. Aber
selbst wenn man sich auf das Einheitsintervall als die Menge der möglichen Zugehö-
rigkeitsgrade festlegt, sollte geklärt werden, in welchem Sinne bzw. als welche Art
von Struktur es verstanden wird.
Das Einheitsintervall kann als eine ordinale Skala aufgefasst werden, d. h., es
wird allein die lineare Ordnung der Zahlen verwendet, beispielsweise um Präferen-
zen auszudrücken. In diesem Fall ist die Interpretation einer Zahl zwischen 0 und
1alsZugehörigkeitsgradnurimVergleichmiteinemanderenZugehörigkeitsgrad
sinnvoll. Auf diese Weise kann ausgedrückt werden, dass ein Element eher zu ei-
ner Fuzzy-Menge gehört als ein anderes. Ein Problem, das sich aus dieser rein ordi-
nalen Auffasung des Einheitsintervalls ergibt, ist die Unvergleichbarkeit von Zuge-
hörigkeitsgraden, die von verschiedenen Personen angegeben wurden. Die gleiche
Schwierigkeit besteht beim Vergleich von Benotungen. Zwei Prüfungskandidaten,
die dieselbe Note bei verschiedenen Prüfern erhalten haben, können in ihren Lei-
stungen durchaus sehr unterschiedlich sein. Die Notenskala wird jedoch i.a. nicht
als reine ordinale Skala verwendet. Durch die Festlegung, bei welchen Leistungen
