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ungefähr 3
mittelgroß
sehr groß
1
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Abbildung 14.3: Drei konvexe Fuzzy-Mengen
mit verschiedenen Möglichkeiten, Fuzzy-Mengen anzugeben, und mit geeigneten
Methoden zur Darstellung und Speicherung von Fuzzy-Mengen.
14.3.1 Definition mittels Funktionen
Ist die Grundmenge
X
= {
x
1
,...,
x
n
}
,überderwirFuzzy-Mengenbetrachten,eine
endliche, diskrete Menge von einzelnen Objekten, kann eine Fuzzy-Menge
µ
i. Allg.
nur durch die direkte Angabe der Zugehörigkeitsgrade
µ
(
x
)
für jedes Element
x
X
spezifiziert werden — etwa in der Form
x
n
,
µ
(
x
n
)
=
x
1
,
µ
(
x
1
)
,...,
.
µ
In den meisten Fällen, die wir hier betrachten werden, besteht die Grundmenge
X
aus Werten, die eine reellwertige Variable annehmen kann, so dass
X
fast immer
ein reelles Intervall ist. Eine Fuzzy-Menge
µ
ist dann eine reelle Funktion mit Wer-
ten im Einheitsintervall, die beispielsweise durch die Zeichnung ihres Graphen fest-
gelegt und veranschaulicht werden kann. Bei einer rein grafischen Definition von
Fuzzy-Mengen lassen sich die Zugehörigkeitsgrade einzelner Elemente nur unge-
nau bestimmen, was zu Schwierigkeiten bei weiteren Berechnungen führt, so dass
sich die grafische Darstellung nur zur Veranschaulichung eignet.
Üblicherweise werden Fuzzy-Mengen zur Modellierung von Ausdrücken — die
häufig auch als
linguistische
Ausdrücke bezeichnet werden, um den Sprachbezug zu
betonen — wie „ungefähr 3“, „mittelgroß“ oder „sehr groß“ verwendet, die einen
unscharfen Wert oder ein unscharfes Intervall beschreiben. Solchen Ausdrücken zu-
geordnete Fuzzy-Mengen sollten bis zu einem bestimmten Wert monoton steigend
und ab diesemWert monoton fallend sein. Fuzzy-Mengen dieser Art werden als
kon-
vex
bezeichnet.
Abbildung 14.3 zeigt drei konvexe Fuzzy-Mengen, welche zur Modellierung der
Ausdrücke „ungefähr 3“, „mittelgroß“ und „sehr groß“ verwendet werden könnten.
In Abbildung 14.4 ist eine nichtkonvexe Fuzzy-Menge dargestellt. Aus der Konvexi-
tät einer Fuzzy-Menge
µ
folgt nicht, dass
µ
auch als reelle Funktion konvex ist.
Es ist oft sinnvoll, sich auf einige wenige Grundformen konvexer Fuzzy-Mengen
zu beschränken, so dass eine Fuzzy-Menge durch die Angabe von wenigen Parame-
