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Der Mensch verwendet in seinen Beschreibungen überwiegend unscharfe oder
vage Konzepte. Nur selten treten fest definierte Begriffe wie beispielsweise Über-
schallgeschwindigkeit als Angabe für die Geschwindigkeit eines beobachteten Flug-
zeugs auf. Überschallgeschwindigkeit charakterisiert eine eindeutige Menge von Ge-
schwindigkeiten, da die Schallgeschwindigkeit eine feste Größe ist und somit ein-
deutig klar ist, ob ein Flugzeug schneller als der Schall ist oder nicht. Bei den häufi-
ger verwendeten unscharfen Konzepten wie
schnell, sehr groß, kurz
usw. ist eine ein-
deutige Entscheidung, ob ein gegebener Wert das entsprechende Attribut verdient,
nicht mehr möglich. Dies hängt zum einen damit zusammen, dass die Attribute ei-
ne kontextabhängige Bedeutung haben. Wenn wir
schnell
auf Flugzeuge beziehen,
verstehen wir sicherlich andere Geschwindigkeiten darunter, als wenn wir an Au-
tos denken. Aber selbst in dem Fall, dass der Kontext — z. B. Autos — klar ist, fällt
es schwer, eine scharfe Trennung zwischen schnellen und nicht-schnellen Autos zu
ziehen. Die Schwierigkeit besteht nicht darin, den richtigen Wert zu finden, ab der
ein Auto (bzw. dessen Höchstgeschwindigkeit) als schnell bezeichnet werden kann.
Dies würde voraussetzen, dass es einen solchen Wert überhaupt gibt. Es widerstrebt
einem eher, sich überhaupt auf einen einzelnen Wert festzulegen. Es gibt sicherlich
Geschwindigkeiten, die man eindeutig als schnell für ein Auto einstufen würde, ge-
nauso wie einige Geschwindigkeiten als nichtschnell gelten. Dazwischen gibt es je-
doch einen Bereich der mehr oder weniger schnellen Autos.
Diese Art von Vagheit sollte nicht mit dem Begriff der Unsicherheit verwechselt
werden. Unsicherheit bezieht sich auf das Eintreten eines Ereignisses oder darauf,
ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Es ist beispielsweise unsicher, ob eine Würfel
eine 6 Würfeln wird. Er wird aber mit Sicherheit entweder genau die Zahl 6 würfeln
oder eine definitiv andere Zahl. Ein Würfel wird nicht die Zahl ungefähr 6 liefern.
Im Gegensatz dazu könnte das Verfassen eines Dokuments etwa 6 Stunden in An-
spruch nehmen. Voraussichtlich wird dieser Vorgang nicht exakt 6 Stunden dauern,
sondern ein wenig mehr oder weniger. Ein ausführlicheres Beispiel zumUnterschied
zwischen Vagheit im Sinne einer graduellen Eigenschaft und Unsicherheit wird im
nächsten Abschnitt diskutiert.
14.2 Fuzzy-Mengen
Die Idee der Fuzzy-Mengen besteht nun darin, dieses Problem zu lösen, indem man
die scharfe, zweiwertige Unterscheidung gewöhnlicher Mengen, bei denen ein Ele-
ment entweder vollständig oder gar nicht dazugehört, aufgibt. Statt dessen lässt man
bei Fuzzy-Mengen graduelle Zugehörigkeitsgrade zu. Bei einer Fuzzy-Menge muss
daher für jedes Element angegeben werden, zu welchem Grad es zur Fuzzy-Menge
gehört. Wir definieren daher:
Definition 14.1
Eine
Fuzzy-Menge
oder
Fuzzy-Teilmenge
µ
der Grundmenge X ist eine
Abbildung
µ
:
X
[
0, 1
]
,diejedemElementx
Xseinen
Zugehörigkeitsgrad
µ
(
x
)
zu
µ
zuordnet. Die Menge aller Fuzzy-Mengen von X bezeichnen wir mit
F(
X
)
.
