Information Technology Reference
In-Depth Information
schwache
positive
Korrelation
keine
Korrelation
starke
positive
Korrelation
starke
negative
Korrelation
Abbildung 12.7: Kovarianz und Korrelation
Eine Kovarianzmatrix könnten wir beispielsweise von reellen Daten mit Hilfe der
Korrelation berechnen. Beispielabbildungen verschieden starker, positiver und ne-
gativer Korrelationen aus Daten lassen sich in Abbildung 12.7 finden.
Anschaulich berechnen wir für die Kovarianz ein Analogon der Standardabwei-
chung. Sei
S
eine symmetrische, positiv definite Matrix (d. h. eine Kovarianzmatrix).
Die
Cholesky-Zerlegung
dient dazu, eine „Quadratwurzel“ von
S
zu berechnen. Sym-
metrisch heißt, dass
1
i
,
j
m
:
s
ij
=
s
ji
und positiv definit bedeutet, dass für
alle
m
-dimensionalen Vektoren
v
= 0gilt
v
T
S
v
>
0. Formal berechnen wir eine lin-
ke bzw. untere Dreiecksmatrix
L
,sodass
LL
T
=
S
wobei
L
T
die Transponierte der
Matrix
L
ist. Die Elemente dieser unteren Dreiecksmatrix
L
berechnen wir durch
1
2
s
ii
i
1
k
=1
l
ik
l
ii
=
,
s
ij
i
1
1
l
ii
k
=1
l
ik
l
jk
l
ji
=
,
j
=
i
+
1,
i
+
2, . . . ,
m
.
Für den Spezialfall mit nur zwei Dimensionen lautet die Kovarianzmatrix
x
xy
xy
y
=
.
(12.1)
Die
Cholesky-Zerlegung
liefert die untere Dreiecksmatrix
L
x
0
L
=
.
xy
x
1
x
x
y
xy
