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Einheits-
kreis
2
2
1
1
Abbildung mit
L
3
3
4
4
Abbildung 12.8: Abbildung des Einheitskreises mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung
Einheits-
kreis
1
2
2
1
1
Abbildung mit
T
3
2
4
4
3
Abbildung 12.9: Abbildung des Einheitskreises mit Hilfe der Eigenwertzerlegung
Die zweidimensionale Abbildung anhand dieser Matrix
L
ist in Abbildung 12.8 ver-
deutlicht.
Die
Eigenwertzerlegung
liefert auch ein Analogon der Standardabweichung. Sie ist
allerdings rechenaufwendiger als die Cholesky-Zerlegung. Sei
S
eine symmetrisch
positiv definite Matrix (d. h. eine Kovarianzmatrix). Dann können wir
S
schreiben
als
S
=
R
diag(
1
,...,
m
)
R
1
,
wobei die
j
,
j
= 1, . . . ,
m
,dieEigenwertevon
S
und die Spalten von
R
die (normier-
ten) Eigenvektoren von
S
sind. Die Eigenwerte
j
,
j
= 1, . . . ,
m
,von
S
sind alle po-
sitiv und die Eigenvektoren von
S
sind orthonormal, was bedeutet, dass
R
1
=
R
T
.
Folglich können wir
S
schreiben als
S
=
TT
T
mit
T
=
R
diag
1
,...,
m
.
Für den Spezialfall mit nur zwei Dimensionen ist die Kovarianzmatrix natürlich
identisch zu (12.1). Die Eigenwertzerlegung liefert
1
=
c
2
x
+
s
2
y
2
sc
xy
,
cs
sc
1
0
T
=
,
0
2
s
2
x
+
c
2
y
+
2
sc
xy
.
2
=
xy
y
x
wobei
s
=
sin
,
c
=
cos
,
=
1
/
2
arctan
.DieAbbildungmit
T
ist für den
Einheitskreis analog zur Cholesky-Zerlegung in Abbildung 12.9 dargestellt.
I. Allg. beschreiben wir die korrelierte Mutation durch
n
Va r i anzen und
n
(
n
1
)
2
Rotationswinkel. Wir verwenden dann die Kovarianzmatrix
1
n
i
=1
n
k
=
i
+
1
n
i
=1
n
k
=
i
+
1
diag
(
1
,...,
n
)
=
R
ik
(
ik
)
R
ik
(
ik
)
,
