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mit den Parametern
a
=
x
(
t
0
)
sin
(
t
0
)+
v
(
t
0
)
cos
(
t
0
)
,
b
=
x
(
t
0
)
cos
(
t
0
)
v
(
t
0
)
sin
(
t
0
)
.
c
m
,
=
Mit den gegebenen Anfangswerten
x
(
t
0
)=
x
0
und
v
(
t
0
)=
0undderzusätzlichen
Festlegung
t
0
=
0erhaltenwirfolglichdeneinfachenAusdruck
c
m
t
x
(
t
)=
x
0
cos
.
Um ein rückgekoppeltes neuronales Netz zu konstruieren, das diese Lösung (nähe-
rungsweise) numerisch berechnet, schreiben wir die Differentialgleichung, die zwei-
ter Ordnung ist, zunächst in ein System von zwei gekoppelten Differentialgleichun-
gen erster Ordnung um, indem wir die Geschwindigkeit
v
der Masse als Zwischen-
größe einführen. Wir erhalten
v
=
c
x
=
v
m
x
.
Anschließend nähern wir, wie oben beim Newtonschen Abkühlungsgesetz, die Dif-
ferentialquotienten durch Differenzenquotienten an, was
und
x
t
=
x
(
t
+
t
)
x
(
t
)
v
t
=
v
(
t
+
t
)
v
(
t
)
=
c
=
v
und
m
x
t
t
ergibt. Aus diesen Gleichungen erhalten wir die Rekursionsformeln
x
(
t
i
)=
x
(
t
i
1
)+
x
(
t
i
1
)=
x
(
t
i
1
)+
t
·
v
(
t
i
1
)
und
v
(
t
i
)=
v
(
t
i
1
)+
v
(
t
i
1
)=
v
(
t
i
1
)
c
m
t
·
x
(
t
i
1
)
.
Wir brauchen nun nur noch für jede dieser beiden Formeln ein Neuron anzulegen
und die Verbindungsgewichte und Schwellenwerte aus den Formeln abzulesen. Dies
liefert das in Abbildung 9.4 gezeigte Netz. Die Netzeingabe- und die Aktivierungs-
funktion des oberen Neurons
u
1
sind
f
(
u
1
)
net
(
v
,
w
u
1
u
2
)=
w
u
1
u
2
v
=
tv
und
f
(
u
1
)
act
(
act
u
1
,net
u
1
,
u
1
)=
act
u
1
+
net
u
1
u
1
,
die des unteren Neurons
u
2
sind
net
(
x
,
w
u
2
u
1
)=
w
u
2
u
1
x
=
c
f
(
u
2
)
m
tx
und
f
(
u
2
)
act
(
act
u
2
,net
u
2
,
u
2
)=
act
u
2
+
net
u
2
u
2
.
Die Ausgabefunktion beider Neuronen ist die Identität. Offenbar werden durch die-
se Wahlen gerade die oben angegebenen rekursiven Berechnungsformeln implemen-
tiert. Man beachte, dass das Netz nicht nur Näherungswerte für
x
(
t
)
sondern auch
für
v
(
t
)
liefert (Ausgaben des Neurons
u
2
).
