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k
t
(
t
0
)
k
A
t
(
t
)
Abbildung 9.2: Ein neuronales Netz für das Newtonsche Abkühlungsgesetz.
x
Abbildung 9.3: Eine Masse an ei-
ner Feder. Ihre Bewegung kann
durch eine einfache Differential-
gleichung beschrieben werden.
0
m
Netzeingabe nicht zur völligen Neuberechnung der Aktivierung des Neurons
u
,son-
dern nur zu der Bestimmung der Änderung seiner Aktivierung (vergleiche Abbil-
dung 4.2 auf Seite 37 und die zugehörigen Erläuterungen zum Aufbau eines verall-
gemeinerten Neurons).
Alternativ kann man natürlich die Netzeingabefunktion
f
(
u
)
net
(
x
,
w
)=(
1
k
t
)
x
(also das Verbindungsgewicht
w
= 1
k
t
)unddieAktivierungsfunktion
f
(
u
)
act
(
net
u
,
u
)=
net
u
u
(wieder mit
u
=
k
A
t
)verwendenundsodieimpliziteRückkopplungvermei-
den. Die erste Form entspricht jedoch besser der Struktur der Differentialgleichung
und deshalb bevorzugen wir sie.
Als zweites Beispiel betrachten wir eine Masse an einer Feder, wie sie Abbil-
dung 9.3 zeigt. Die Höhe
x
= 0bezeichnedieRuhelagederMasse
m
.DieMasse
m
werde um eine bestimmte Strecke
x
(
t
0
)=
x
0
angehoben und dann losgelassen (d. h.,
sie hat die Anfangsgeschwindigkeit
v
(
t
0
)=
0). Da die auf die Masse
m
wirkende
Gewichtskraft auf allen Höhen
x
gleich groß ist, können wir ihren Einfluss vernach-
lässigen. Die Federkraft gehorcht dem
Hookeschen Gesetz
[Feynman u. a. 1963, Heuser
1989], nach dem die ausgeübte Kraft
F
proportional zur Längenänderung
l
der Fe-
der und der Richtung dieser Änderung entgegengerichtet ist. D. h., es ist
F
=
c
l
=
cx
,
wobei
c
eine von der Feder abhängige Konstante ist. Nach dem
zweiten Newtonschen
Gesetz F
=
ma
=
m x
bewirkt diese Kraft eine Beschleunigung
a
=
x
der Masse
m
.
Wir erhalten daher die Differentialgleichung
x
=
c
m x
=
cx
,
m
x
.
Auch diese Differentialgleichung kann man natürlich analytisch lösen. Man erhält
als allgemeine Lösung
oder
x
(
t
)=
a
sin
(
t
)+
b
cos
(
t
)
