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t
=
4
t
=
2
t
=
1
0
0
0
A
A
A
t
t
t
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
Abbildung 9.1: Euler-Cauchysche Polygonzüge zur näherungsweisen Berechnung
des Newtonschen Abkühlungsgesetzes für verschiedene Schrittweiten
t
.Diedünn
gezeichnete Kurve ist die exakte Lösung.
woraus man unmittelbar die Rekursionsformel erhält.
Es ist klar, dass die Güte der berechnetenNäherung umso größer ist, je kleiner die
Schrittweite
t
ist, denn umso weniger wird der berechnete Polygonzug vom tatsäch-
lichen Verlauf der Funktion
(
t
)
abweichen. Um dies zu verdeutlichen, zeigt Abbil-
dung 9.1 für die Außentemperatur
A
=
20, die Abkühlungskonstante
k
=
0.2 und
die Startwerte
t
0
= 0und
0
= 100 die exakte Lösung
(
t
)=
A
+(
0
A
)
e
k
(
t
t
0
)
sowie deren Annäherung durch Euler-Cauchysche Polygonzüge mit den Schrittwei-
ten
t
= 4, 2, 1 im Intervall [0, 20].ManvergleichebeidiesenPolygonzügendie
Abweichung von der exakten Lösung z. B. für
t
=
8oder
t
=
12.
Um die oben abgeleitete rekursive Berechnungsformel durch ein rückgekoppel-
tes neuronales Netz darzustellen, brauchen wir nur die rechte Seite der Gleichung
auszumultiplizieren. Wir erhalten so
(
t
+
t
)
(
t
)=
(
t
)
k
t
(
t
)+
k
A
t
also
i
i
1
k
t
i
1
+
k
A
t
.
Die Form dieser Gleichung entspricht genau den Berechnungen eines auf sich selbst
rückgekoppelten Neurons. Folglich können wir die Funktion
(
t
) näherungsweise
mit Hilfe eines neuronalen Netzes mit nur einem Neurons
u
mit der Netzeingabe-
funktion
f
(
u
)
net
(
w
,
x
)=
k
tx
und der Aktivierungsfunktion
f
(
u
)
act
(
net
u
,act
u
,
u
)=
act
u
+
net
u
u
mit
u
=
k
A
t
berechnen. Dieses Netz ist in Abbildung 9.2 dargestellt, wobei —
wie üblich — der Biaswert
u
in das Neuron geschrieben ist.
Man beachte, dass es in diesem Netz eigentlich zwei Rückkopplungen gibt: Er-
stens die explizit dargestellte, die die Temperaturänderung in Abhängigkeit von
der aktuellen Temperatur beschreibt, und zweitens die implizite Rückkopplung, die
dadurch zustande kommt, dass die aktuelle Aktivierung des Neurons
u
ein Para-
meter seiner Aktivierungsfunktion ist. Durch diese zweite Rückkopplung dient die
