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abhängig ist, ergibt sich natürlich, weil die Temperaturänderung so gerichtet ist, dass
sie die Temperaturdifferenz verringert.
Es ist klar, dass sich eine so einfache Differentialgleichung wie diese analytisch
lösen lässt. Man erhält (siehe z. B. [Heuser 1989])
(
t
)=
A
+(
0
A
)
e
k
(
t
t
0
)
mit der Anfangstemperatur
0
=
(
t
0
)
des Körpers. Wir betrachten hier jedoch ei-
ne numerische (Näherungs-)Lösung, und zwar speziell die Lösung mit Hilfe des
Euler-Cauchyschen Polygonzugs
[Heuser 1989]. Die Idee dieses Verfahrens besteht dar-
in, dass wir ja mit der Differentialgleichung die Ableitung
˙
(
t
)
der Funktion
(
t
)
für
beliebige Zeitpunkte
t
bestimmen können, also lokal den Verlauf der Funktion
(
t
)
kennen. Bei gegebenem Anfangswert
0
=
(
t
0
)
können wir daher jeden Wert
(
t
)
näherungsweise
wie folgt berechnen: Wir zerlegen das Intervall
[
t
0
,
t
]
in
n
Te i l e g l e i -
cher Länge
t
=
t
t
0
n
.DieTeilungspunktesinddanngegebendurch
i
{
0, 1, . . . ,
n
}
:
t
i
=
t
0
+
i
t
.
Wir schreiten nun vom Startpunkt
P
0
=(
t
0
,
0
)
aus
geradlinig
mit der (durch die
Differentialgleichung) für diesen Punkt vorgeschriebenen Steigung
˙
(
t
0
) fort, bis wir
zum Punkt
P
1
=(
t
1
,
1
) über
t
1
gelangen. Es ist
1
=
(
t
1
)=
(
t
0
)+
˙
(
t
0
)
t
=
0
k
(
0
A
)
t
.
In diesem Punkt
P
1
ist (durch die Differentialgleichung) die Steigung
˙
(
t
1
)
vorge-
schrieben. Wieder schreiten wir mit dieser Steigung
geradlinig
fort, bis wir dann zu
dem Punkt
P
2
=(
t
2
,
2
)
über
t
2
gelangen. Es ist
2
=
(
t
2
)=
(
t
1
)+
˙
(
t
1
)
t
=
1
k
(
1
A
)
t
.
Wir fahren in der gleichen Weise fort, indem wir nacheinander die Punkte
P
k
=
(
t
k
,
k
)
,
k
=
1, . . . ,
n
,berechnen,derenzweiteKoordinate
k
man stets mit der Rekur-
sionsformel
i
=
(
t
i
)=
(
t
i
1
)+
˙
(
t
i
1
)
t
=
i
1
k
(
i
1
A
)
t
erhält. Schließlich gelangen wir zum Punkt
P
n
=(
t
n
,
n
) und haben dann mit
n
=
(
t
n
) den gesuchten Näherungswert.
Anschaulich haben wir mit dem so beschriebenen Verfahren die Funktion
(
t
)
durch einen
Polygonzug
angenähert, da wir uns ja stets auf einer
Gerade
von einem
Punkt zum nächsten bewegt haben (daher auch der Name
Euler-Cauchyscher Polygon-
zug
). Etwas formaler erhält man die obige Rekursionsformel für die Werte
i
,indem
man den Differentialquotienten durch einen Differenzenquotienten annähert, d. h.,
d
(
t
)
d
t
(
t
)
t
=
(
t
+
t
)
(
t
)
t
mit hinreichend kleinem
t
verwendet. Denn dann ist offenbar
(
t
+
t
)
(
t
)=
(
t
)
k
(
(
t
)
A
)
t
,
