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u 1
x ( t 0 )
x ( t )
0
Abbildung 9.4: Rückgekoppel-
tes neuronales Netz, durch das
die Bewegung einer Masse an ei-
ner Feder berechnet wird.
m t
t
v ( t 0 )
v ( t )
0
u 2
t
v
x
x
0.0
0.0000
1.0000
0.1
0.5000
0.9500
0.2
0.9750
0.8525
t
0.3
1.4012
0.7124
1
2
3
4
0.4
1.7574
0.5366
2.0258
0.5
0.3341
2.1928
0.6
0.1148
Abbildung 9.5: Die ersten Berechnungsschritte des neuronalen Netzes aus Abbil-
dung 9.4 und die so berechnete Bewegung einer Masse an einer Feder.
Man beachte weiter, dass die berechneten Werte davon abhängen, welches der
beiden Neuronen zuerst aktualisiert wird. Da der Anfangswert für die Geschwin-
digkeit 0 ist, erscheint es sinnvoller, zuerst das Neuron u 2 ,dasdieGeschwindigkeit
fortschreibt, zu aktualisieren. Alternativ kann man folgende Überlegung anstellen
[Feynman u. a. 1963]: Die Berechnungen werden genauer, wenn man die Geschwin-
digkeit v ( t ) nicht für die Zeitpunkte t i = t 0 + i t sondern für die Intervallmitten,
also für die Zeitpunkte t
i = t 0 + i t + 2 , berechnet. Dem unteren Neuron wird in
diesem Fall nicht v ( t 0 ) sondern v ( t 0 + 2 ) v 0 m 2 x 0 eingegeben.
Beispielberechnungen des neuronalen Netzes aus Abbildung 9.4 für die Para-
meterwerte m = 5und t = 0.1 zeigen die Tabelle und das Diagramm in Abbil-
dung 9.5. Die Tabelle enthält in den Spalten für t und x die Koordinaten der ersten
sieben Punkte des Diagramms. Die Aktualisierung der Ausgaben beginnt hier mit
dem Neuron u 2 ,dem v ( t 0 ) eingegeben wird.
9.2 Darstellung von Differentialgleichungen
Aus den im vorangehenden Abschnitt beschriebenen Beispielen lässt sich ein ein-
faches Prinzip ableiten, wie sich beliebige explizite Differentialgleichungen 1 durch
1 Wegen de r be sonde ren Arbe i t swe i s e neurona l e r Ne t ze l as s en s i ch n i ch t be l i eb i ge Di f f e ren t i a l g l e i chun -
gen durch rückgekoppelte Netze numerisch lösen. Es genügt aber, wenn sich die Differentialgleichung
nach einer der auftretenden Ableitungen der abhängigen Variable oder nach der abhängigen Variable
selbst auflösen lässt. Wir betrachten hier exemplarisch den Fall, in dem sich die Differentialgleichung
nach der höchsten auftretenden Ableitung auflösen lässt.
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