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Schwerpunkte aller Stabquerschnitte als Schwerlinie, dann gilt also: Stabachse =
Schwerlinie.
Bild 26
Zur Bestimmung des Schwerpunktes
Wir zeigen hier die Bestimmung des Schwerpunktes für ein Dreieck (Bild 26) und
kommen anlässlich der zusammenfassenden Behandlung von Flächenwerten in
Kapitel 3 noch einmal hierauf zurück. Per definitionem ist der Schwerpunkt derjeni-
ge Punkt, in dem man sich die ganze Fläche vereinigt denken kann, solange es um
das statische Moment dieser Fläche um jede beliebige Achse geht. Dementspre-
chend muss in Bezug auf eine beliebige Achse das statische Moment der im
Schwerpunkt konzentrierten Gesamtfläche gleich sein der Summe der statischen
Momente der Teilflächen. Diese Aussage kann als Bestimmungsgleichung für den
Schwerpunktabstand von der erwähnten Bezugsachse benutzt werden. Wählen wir
etwa die y-Achse als Bezugsachse und nennen den Abstand des Schwerpunktes von
dieser Achse z
s
, dann muss sein
S
A
1
y
³
A
³
z
s
A =
zdA=S
und also z
s
=
zdA
=
y
(A)
(A)
Wir wollen jetzt für unser Dreieck den Wert des Integrals bestimmen und ersetzen
dazu dA durch dz dy bei gleichzeitiger Anpassung der Integrationsgrenzen:
g
g
g
z
2
1
1
§
h
·
³ ³ ³
³
³
2
S
y
=
zdA=
zdzdy
=
z dy
=
−
y+h
dy
=
¨
¸
2
2
©
g
¹
(A)
0
0
0
0
g
g
2
2
1
h
§·
1h
§·
³
³
2
2
2
=
(
−
y+g) dy
=
(y
−
2gy+g ) dy
=
¨¸
¨¸
2g
©¹
2g
©¹
0
0
2
2
g
⎛⎞
⎛⎞
1
h
⎡
1
⎤
1h
⎡
1
⎤
1
3
2
2
3
3
3
2
=
⎜⎟
y
−
y gy
=
⎜⎟
gg g=
−
h
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
2g
3
2g
3
6
⎝⎠
⎝⎠
0
Das liefert mit A =
1
1
2
g h den Schwerpunktsabstand z
s
=
h
.
3
