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(In einigen Literaturstellen wird auch für die Querdehnzahl der griechische Buch-
stabe
benutzt.).
Betrachten wir nun anstelle des Zugstabes einen Probewürfel (Bild 14), den wir in
Längsrichtung (wir nennen sie 1-Richtung) durch die Spannung
ν
1
beanspruchen
und in den beiden Querrichtungen 2 und 3 jeweils durch die Spannungen
σ
3
,
so können wir die sich aus den einzelnen Beanspruchungen ergebenden Dehnungen
addieren, da die Spannungs-Dehnungs-Beziehung linear ist.
Dann ergibt sich
σ
2
und
σ
1
ıȝıı
(
)
E
⎡
⎤
ε
1
=
⎣
−+
⎦
1
2
3
1
ıȝıı
(
)
E
⎡
⎤
ε
2
=
⎣
−+
⎦
2
3
1
1
ıȝıı
(
)
E
⎡
⎤
ε
3
=
⎣
−+
⎦
3
1
2
Man nennt diese Beziehungen auch das verallgemeinerte Hookesche Gesetz. Es
wurde zuerst von Cauchy
13)
aufgestellt. Der Wert von
liegt für kristalline
14)
Stof-
fe in der Nähe von 1/3, für amorphe
15)
Stoffe in der Nähe von 1/4 und für poröse
Materialien und Zellstoffe (wie etwa Holz oder Kork) zwischen 0 und 1/5. Er wird
durch Messung bestimmt; man kann ihn allerdings auch in einer theoretischen Über-
legung finden, wenn man - wie fast immer - einige idealisierende Annahmen
macht.
In einem dicht gepackten kristallinen Material sind die Atome innerhalb einzelner
Ebenen wie in Bild 15 gezeigt angeordnet. Man erkennt drei ausgezeichnete Rich-
tungen (hier durch ein Liniennetz gezeichnet). Nehmen wir an, in einer dieser Rich-
tungen (etwa A - A) wirken Kräfte und ziehen die Atome auseinander. Aufgrund
der gegenseitigen Anziehung hat dieses Konsequenzen für die Anordnung der Ato-
me in Richtung quer zu A - A: Sie gleiten in die entstehenden Lücken und vermin-
dern damit ihren Abstand in Querrichtung. Eine geometrische Betrachtung dieses
Vorganges liefert unmittelbar einen (Näherungs-) Wert für
μ
μ
.
13)
Augustin Louis Cauchy (1789-1857);
14)
Kristallin sind feste Körper, deren Bauelemente sich während des Wachstums räumlich
periodisch anlagern, und zwar in ebenen Flächen.
15)
Amorph sind feste Körper, die sich im Gegensatz zu den Kristallen aus unregelmäßig
angeordneten Atomen oder Molekülen aufbauen.
