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Mit diesen Formeln lassen sich die Koordinaten der Schwerpunkte aller Flächen
bestimmen, die durch analytisch fassbare Kurven begrenzt sind. Für den Schwer-
punkt einer Fläche unter einer Kurve z = f (y) gilt dann (Bild 101)
b
b
1
1
=⋅ ⋅ ⋅
³
und
³
.
2
y
y z dy
z
=
⋅
z
⋅
dy
s
s
2A
⋅
a
a
⋅
³
nennt man das statische
Moment der Fläche A in Bezug auf die z-Achse bzw. y-Achse:
⋅
³
bzw.
Den oben auftretenden Ausdruck
ydA
zdA
=⋅
³
und
=⋅
³
.
S
y dA
S
z dA
z
y
(A)
(A)
Als kleines Beispiel berechnen wir das statische Moment der Fläche unter der Para-
bel
z
bezüglich der y- und z-Achse und die Lage des Schwerpunktes dieser
Fläche (Bild 102):
=
y
a
a
5
2
2
2
³
2
2
S
=⋅
y
y dy
⋅
=⋅
y
=⋅
a
⋅
a
=⋅
a
⋅
b
2
z
5
5
5
0
0
a
a
1
1
1
³
2
2
2
S
=⋅
z
⋅
dy
=⋅
y
=⋅
a
.
y
2
4
4
0
0
Bild 102
Damit ergibt sich
S2
⎛
2
⎞
3
z
2
y
==⋅⋅
a
b /
⋅⋅=⋅
a
b
a
⎜
⎟
s
⎝
⎠
A5
3
5
S
1
⎛
2
⎞
3
3
y
2
z
==⋅
a
/
⋅⋅=⋅=⋅
a
b
a
b
.
⎜
⎟
s
⎝
⎠
A4
3
8
8
Auf diese Weise hat man für alle möglichen planimetrischen Figuren die Lage des
Schwerpunktes bestimmt. Die bekannten Ergebnisse kann man nun sozusagen um-
gekehrt verwenden, um das statische Moment dieser Figuren zu berechnen:
