Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 50

Im unverformten Zustand sind die Koordinaten des globalen und lokalen (ele-
mentweisen) Koordinatensystems noch deckungsgleich. Die Änderung tritt ein, wenn
es durch Belastungen zu Knotenverschiebungen kommt, die dann im u-v-w-Koordi-
natensystem als Daten der verformten Elementestruktur vorliegen.
Die Knotenverschiebungen u i,1 am Anfangsknoten und die Knotenverschiebungen
u i,2 am Endknoten ergeben sich in Analogie zu Gl. 1.46 aus den Knotenkräften F i,1
und den Knotenkräften F i,2

F l F F F l F F

i , e i , i , i , 2 e i , 2 i 2

u u

i i , 2

E A E A

E A k E A k

(1.47)

e e

l l

e e

mit Querschnittsfläche A, Elastizitätsmodul E und Elementlänge l e . Die Elementlän-
ge l e wird über die x-Koordinaten im x-y-z-Koordinatensystem für den unverform-
ten Zustand ermittelt. Für das freigeschnittene Stabelement E1 nach Abb. 1.46. las-
sen sich die FE-Beziehungen beschreiben über die Gleichgewichtsbedingung
F 1,1 + F 1,2 = 0 ,
wobei für F 1,1 und F 1,2 nach Gl. 1.47
F 1,1 = k e · u 1,1 F 1,2 = k e · u 1,2
gilt. Das Kräftegleichgewicht kann durch Festhalten des Anfangsknotens (N1) und
nachfolgend des Endknotens (N2) dargestellt werden (Abb. 1.47.). Wird Knoten N1
festgehalten, folgt
F 1,1 - k e · u 1,1 + k e · u 1,2 = 0 mit F 1,1 = k e · u 1,1 - k e · u 1,2 (1.48),

festhalten von Knoten N2 bringt
F 1,2 + k e · u 1,1 - k e · u 1,2 = 0

mit F 1,2 = - k e · u 1,1 + k e · u 1,2 (1.49).

v

N 1 N 2

E1

a) Element E1 unverformt

k e

u

F 1,1 , u 1,1 F 1,2 , u 1,2

v

k e · u 1,1

N1

N2

E1

k e

F 1,1 k e · u 1,2

u

b) Element E1 verformt

v

k e · u 1,2

N1 N2

E1

k e

k e · u 1,1 F 1,2

u

Abb. 1.47. Knotenverschiebung am Stabelement