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Das Multiplizieren der aufgespaltenen Matrix
A
mit einer ebenfalls aufgespalte-
nen Matrix
B
erfolgt nach den bekannten Gesetzmäßigkeiten.
Zwischen den Blöcken ist die Verkettung zu beachten:
ª
A
A
º
ª
B
B
º
ª
C
C
º
11
12
11
12
11
12
¬
¼
¬
¼
¬
¼
A
A
B
B
C
C
21
22
21
22
21
22
A
B
A
B
A
B
A
B
ª
º
(1.45)
11
11
12
21
11
12
12
22
=
¬
¼
A
B
A
B
A
B
A
B
21
11
22
21
21
12
22
22
Die Lösung linearer Gleichungssysteme durch Matrizen wird am Beispiel einer
Gleichung mit 3 Unbekannten gezeigt:
2
x
y
z
2
3
2
y
2
2
x
2
y
z
1
Zuerst wird das Gleichungssystem in Matrizenschreibweise dargestellt. Es erfolgt
eine allgemeine Zuordnung -
A
für die Matrix und
u
,
b
für die Vektoren.
2
1
1
x
2
ª
º
ª
º
ª
º
«
»
«
»
«
»
3
2
2
y
2
«
»
«
»
«
»
1
2
1
z
1
¬
¼
¬
¼
¬
¼
>@ >@ >@
Die Lösung erfolgt mit dem Gaußschen Algorithmus. Dieses Eliminationsverfah-
ren ermöglicht insbesondere eine Bearbeitung mit Rechnern. Das Prinzip besteht
darin, dass das rechteckige Gleichungssystem durch geeignete Linearkombinatio-
nen in ein gestaffeltes Gleichungssystem von dreieckiger Form umgewandelt wird.
Die unbekannten Größen können dann schrittweise aus den Gleichungen bestimmt
werden.
Die Matrix A muss dazu so umgewandelt werden, dass eine Dreiecksmatrix ent-
steht. Wenn die Komponenten unter der Hauptdiagonale den Wert 0 erreichen, kann
z als erste Variable bestimmt werden.
Die Ausführung erfordert, dass die erste Zeile unverändert bleibt und mit Hilfe des
Additionsverfahrens die Elimination der unter der Hauptdiagonalen befindlichen
Variablen erfolgt.
A
u
b
ª
2
1
1
º
x
2
ª
º
ª
º
- ausgeführt: 1. Zeile mit (-3/2) multipliziert
und zur 2. Zeile addiert,
«
»
«
»
«
»
0
7
y
5
1
«
»
«
»
«
»
2
2
«
»
«
»
«
»
1
2
1
z
1
¬
¼
¬
¼
¬
¼
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